Question

1986年升空的“和平號(hào)”空間站，在服役15年后，于2001年墜落在南太平洋．“和平號(hào)”空間站總質(zhì)量137t，工作容積超過(guò)400m³．設(shè)“和平號(hào)”空間站正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)沿高度為350km圓形軌道運(yùn)行，在墜落前，沿高度為240km的指定圓形低空軌道運(yùn)行．在“和平號(hào)”沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km．由于沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周空間站高度變化很小，因此計(jì)算時(shí)每一周的運(yùn)動(dòng)都可以作為勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理．
（1）（1）簡(jiǎn)要說(shuō)明為什么空間站在沿圓軌道正常運(yùn)行過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值多大？計(jì)算結(jié)果保留2位有效數(shù)字．
（3）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均變化多大？計(jì)算中取地球半徑R=6.4×10³km，計(jì)算結(jié)果保留1位有效數(shù)字，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響．

Answer 1

分析：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，僅受萬(wàn)有引力作用，所受到的萬(wàn)有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，萬(wàn)有引力完全提供向心力，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬(wàn)有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有G

Mm

r2

=ma，得a=G

M

r2

．加速度與軌道半徑的平方成反比，代入數(shù)據(jù)求比值．
（3）萬(wàn)有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，有G

Mm

R2

=mg，則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為T=2π

r3 GM

=2π

r3 R2g

，代入數(shù)據(jù)可計(jì)算出T的值．每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為n=

24h

T

，所以空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均減小△h=

2.7km

n

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，僅受萬(wàn)有引力作用，所受到的萬(wàn)有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬(wàn)有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有
G

Mm

r2

=ma
空間站運(yùn)行時(shí)向心加速度是a=G

M

r2

空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與在沿指定的低空軌道運(yùn)行的半徑分別為
r₁=R+h₁=6.75×10³km，
r₂=R+h₂=6.64×10³km，
加速度大小的比值是

a1

a2

=

r22

r12

=(

6.64

6.65

)2=0.9842=0.97
（3）萬(wàn)有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，有G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G

Mm

R2

=mg，有GM=R²g
則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為
T=2π

r3 GM

=2π

r3 R2g

=2×3.14

(6.64×106)3 (6.4×106)2×10

s=5.3×103s
一晝夜的時(shí)間為t=24h，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為
n=

t

T

≈16
空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均減小
△h=

2.7km

n

=

2.7km

16

≈169m≈2×10^-1m．
答：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，僅受萬(wàn)有引力作用，所受到的萬(wàn)有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值為0.97．
（3）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均變化約為2×10^-1m．

點(diǎn)評(píng)：本題要求知道解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般方法：萬(wàn)有引力提供向心力；星球表面的重力等于萬(wàn)有引力．同時(shí)要注意第三問(wèn)的結(jié)果要求保留1位有效數(shù)字，這是容易出錯(cuò)的地方，要小心．