Question

5．如圖所示，在豎直平面某點A通過長度為l的不可伸長的輕繩懸掛一擺球，擺球可視作質(zhì)量為m的質(zhì)點，輕繩和擺球組成的系統(tǒng)可繞A點自由轉(zhuǎn)動．初始時，擺球在重力和繩子拉力作用下靜止，現(xiàn)給該擺球以水平向右的初速度v₀，試定性描述擺球開始運動到第一次回到出發(fā)點這一過程的運動軌跡并說明理由．（過程中繩子與球的互相作用僅考慮拉力）

Answer 1

分析 小球初速度不同，運動軌跡不同，判斷出小球的速度的臨界值時判斷小球運動的關鍵，分為完整圓周運動，單擺運動，和單擺加拋體運動即可

解答 解：不同的初速度會導致擺球不同的運動軌跡
（1）擺球做完整的圓周運動
設擺球在最高點速度為v，有$\frac{m{v}^{2}}{l}≥mg$
$-2mgl=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}≥\sqrt{5gl}$
（2）擺球做來回擺動
這種情況要求擺球運動過程中不超過A點的高度，有
$mgl≥\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
（3）當$\sqrt{2gl}＜{v}_{0}＜\sqrt{5gl}$，擺球超過A點又不能做完整的圓周運動，設超過A殿后，擺球處于繃直狀態(tài)時與水平方向的夾角為θ，則必有某一θ符合$\frac{{mv}_{0}^{2}}{l}=mgcosθ$
此時繩中的張力為0，此后擺球推力繩子的束縛做跑題運動直至繩子再次繃直，之后擺球?qū)⒃俅巫鰣A周運動回到出發(fā)點
綜上：
若${v}_{0}≤\sqrt{2給L}$，擺球的運動軌跡為兩段往復的圓弧，圓弧對應角度小于90°
若$\sqrt{2gl}＜{v}_{0}＜\sqrt{5gl}$，擺球運動軌跡為一段圓弧接一段拋物線再接一段圓��；
若${v}_{0}≥\sqrt{5gl}$，擺球運動軌跡為完整圓

點評 本題主要考查了小球具有不同初速度下小球的運動軌跡，關鍵是抓住臨界值的判斷