Question

如圖所示，兩根相距為d的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌位于水  平的xy平面內(nèi)，一端接有阻值為R的電阻，在x>0的一側(cè)存在沿豎直方向向里的均勻磁場，磁感強(qiáng)度B隨x的增大而增大，B=kx，式中k是一常量。一金屬直桿與金屬導(dǎo)軌垂直，可在導(dǎo)軌上滑動，當(dāng)t=0時位于x=0處，速度為v0，方向沿x軸正方向，在運(yùn)動過程中，有一大小可調(diào)節(jié)的外力F作用于金屬桿以保持金屬桿的加速度恒定，大小為a，方向沿x軸的負(fù)方向，設(shè)除外接的電阻R外，所有其他電阻都可以忽略，且桿只能向右運(yùn)動。則：

（1）該回路中的感應(yīng)電流持續(xù)的時間有多長？

（2）當(dāng)金屬桿的速度大小為v0/2時，回路中的感應(yīng)電流有多大？

（3）若金屬桿的質(zhì)量為m，施加于金屬桿上的外力F與時間t的關(guān)系如何？

Answer 1

解：（1）以t1表示金屬桿從原點(diǎn)O到右方最遠(yuǎn)處所需的時間，則由運(yùn)動學(xué)公式得v0-at=0,這樣該回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時間t=v0/a.（4分）

(2)以x1表示金屬桿的速度變?yōu)関=v0/2時它所在的x坐標(biāo)，則有

v12=v02-2ax1，即x1=3v02/8a，（2分）

而由題意B1=3kv02/8a，因而此時由金屬桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢等E1=B1lv1=3kv03l/16a. （2分）

故回路中的感應(yīng)電流I=E1/R=3kv03l/16aR（2分）

(3)以v和x表示t時刻金屬桿的速度和它們所在的x坐標(biāo)，則v=v0-at（1分），x=v0t-at2/2（2分），由金屬桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢等于E=k(v0t-at2/2)(v0-at)l（2分）

故桿受到的安培力f=IBl=EBl/R=;（2分）

f的方向沿x軸的負(fù)方向。則F+f=ma，（1分）

得（2分）