Question

20．如圖所示，螺線管橫截面積為S，線圈匝數(shù)為N，電阻為R₁，管內(nèi)有圖示方向的變化磁場．螺線管與足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相連并固定在同一平面內(nèi)，與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌的間距為L．導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)．導(dǎo)軌處于垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場中．金屬桿ab垂直導(dǎo)軌放置，與導(dǎo)軌接觸良好，并可沿導(dǎo)軌無摩擦滑動(dòng)．已知金屬桿ab的質(zhì)量為m，電阻為R₂，重力加速度為g．忽略螺線管的磁場對(duì)金屬桿ab的影響、忽略空氣阻力．
（1）為使ab桿保持靜止，求通過ab的電流的大小和方向；
（2）當(dāng)ab桿保持靜止時(shí)，求螺線管內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率；
（3）若螺線管內(nèi)磁場方向與圖示方向相反，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率$\frac{△B}{△t}$=k（k＞0）．將金屬桿ab由靜止釋放，桿將沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．求桿下滑的最大加速度a及最大速度v．

Answer 1

分析 （1）金屬桿平衡時(shí)，所受安培力向上，大小與重力沿斜面的分力相等，可求電流大小和方向
（2）螺線管內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，導(dǎo)致螺線管充當(dāng)電源，根據(jù)閉合電路歐姆定律和法拉第電磁感應(yīng)定律可求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率
（3）由于桿向下運(yùn)動(dòng)，安培力方向向上，電路中將有兩處產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，由閉合電路歐姆定律求得電流大小，進(jìn)而求得安培力大小，由牛頓第二定律得到加速度．

解答 解：（1）以金屬桿ab為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件mgsinθ-B₀IL=0
得：I=$\frac{mgsinθ}{{B}_{0}L}$
通過ab桿電流方向?yàn)橛蒪到a
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=N$\frac{△φ}{△t}$=NS$\frac{△B}{△t}$
根據(jù)歐姆定律I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
得$\frac{△B}{△t}$=$\frac{mg（{R}_{1}+{R}_{2}）sinθ}{{B}_{0}LNS}$
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E₁=NS$\frac{△B}{△t}$=NSk
ab桿切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢 E₂=B₀Lv 
總電動(dòng)勢     E_總=E₁+E₂
感應(yīng)電流I′=$\frac{{E}_{總}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
根據(jù)牛頓第二定律mgsinθ-F=ma
安培力        F=B₀I′L           
所以a=gsinθ-$\frac{{B}_{0}LNSK}{m（{R}_{1}+{R}_{2}）}$；
那么最大加速度，即為剛釋放時(shí)，即為a_m=gsinθ；
金屬桿向下速度最大時(shí)，勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

根據(jù)平衡條件，mgsinθ-F₂=0
安培力F₂=B₀I₂L
感應(yīng)電流I₂=$\frac{{E}_{總}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
而E_總=E₂+E₁；
則桿切割電動(dòng)勢E₂=B₀LV
聯(lián)立上式，解得：桿下滑時(shí)最大速度V=$\frac{mg（{R}_{1}+{R}_{2}）sinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}+\frac{NSk}{{B}_{0}L}$；
答：（1）電流的大小$\frac{mgsinθ}{{B}_{0}L}$，方向由b到a；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率$\frac{mg（{R}_{1}+{R}_{2}）sinθ}{{B}_{0}LNS}$；
（3）桿的加速度安培力a=gsinθ；最大速度$\frac{mg（{R}_{1}+{R}_{2}）sinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}+\frac{NSk}{{B}_{0}L}$．

點(diǎn)評(píng) 由電磁感應(yīng)而產(chǎn)生電流，再有電流產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，繼而再產(chǎn)生電磁感應(yīng)的聯(lián)動(dòng)過程要分析透，注意應(yīng)用平衡條件，搞好受力分析，此題難度不小