Question

19．如圖所示，球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，球的半徑為r，r略小于軌道橫截面半徑，重力加速度為g．下列說法中正確的是（　　）

• A． 小球通過最高點(diǎn)時的最小速度v_min=$\sqrt{g（r+R）}$
• B． 小球通過最低點(diǎn)時的最小速度v_min=$\sqrt{5g（r+R）}$
• C． 小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力
• D． 小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定有作用力

Answer 1

分析 圓形管道內(nèi)能支撐小球，小球能夠通過最高點(diǎn)時的最小速度為0．小球從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的最小速度．由牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、由于圓形管道能支撐小球，所以小球能夠通過最高點(diǎn)時的最小速度為0．故A錯誤．
B、小球通過最高點(diǎn)時的最小速度為0，根據(jù)機(jī)械能守恒得：mg（2R+2r）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
可得最低點(diǎn)的最小速度為：v=2$\sqrt{g（r+R）}$，故B錯誤．
C、在a點(diǎn)，小球所需要的向心力是由軌道外側(cè)管壁的彈力提供的，所以可知小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力．故C正確．
D、小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動時，設(shè)小球的速度為v，管道對小球的彈力大小為F，方向指向圓心，半徑與豎直方向的夾角為α．小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度為v′．由牛頓第二定律得：
  mgcosα+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯(lián)立得：F=2mg（1-2cosα）-m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
可知F可能為正，也可能為負(fù)，所以內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力．故D錯誤．
故選：C

點(diǎn)評 本題考查向心力公式以及牛頓第二定律的應(yīng)用，要注意圓管類似與桿模型，最高點(diǎn)可以提供支持力也可以提供向下的彈力，要根據(jù)物體的速度大小分析受力特點(diǎn)．