Question

7．某游樂場開發(fā)了一個名為“翻天滾地”游樂項目．原理圖如圖所示：一個$\frac{3}{4}$圓弧形光滑圓管軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，在A點與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計的減振墊，左端M正好位于A點．讓游客進入一個中空的透明彈性球，人和球的總質量為m，球的直徑略小于圓管直徑．將球（內(nèi)裝有參與者）從A處管口正上方某處由靜止釋放后，游客將經(jīng)歷一個“翻天滾地”的刺激過程．不考慮空氣阻力．那么以下說法中正確的是（　�。�

• A． 要使球能從C點射出后能打到墊子上，則球經(jīng)過C點時的速度至少為$\sqrt{gR}$
• B． 要使球能從C點射出后能打到墊子上，則球經(jīng)過C點時的速度至少為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• C． 若球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則球經(jīng)過C點時對管的作用力大小為$\frac{mg}{2}$
• D． 若球從C點射出后恰好能打到墊子的N端，則球經(jīng)過C點時對管的作用力大小為7mg

Answer 1

分析 要使球能從C點射出后能打到墊子上，小球平拋運動的水平位移最大為4R，最小為R，根據(jù)平拋運動的規(guī)律和機械能守恒定律結合求解球經(jīng)過C點時的最小速度．再由機械能守恒定律和牛頓運動定律結合求球對管道的作用力．

解答 解：AB、要使球能從C點射出后能打到墊子上，從C點開始做平拋運動，豎直分位移為R，故有：
 R=$\frac{1}{2}$gt²；
 x=v_Ct
其中：4R≥x≥R
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}$≤v_C≤$\sqrt{8gR}$，因此要使球能從C點射出后能打到墊子上，則球經(jīng)過C點時的速度至少為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．故A錯誤，B正確；
C、若球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，在C點的速度為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
在C點，由重力和支持力的合力提供向心力，設管道對球的支持力向下，根據(jù)牛頓第二定律，有：
 N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=-$\frac{1}{2}$mg，負號表示方向與假設方向相反，是向上．根據(jù)牛頓第三定律得，球經(jīng)過C點時對管的作用力大小為$\frac{mg}{2}$．故C正確．
D、若球從C點射出后恰好能打到墊子的N端，在C點的速度為$\sqrt{8gR}$，在C點，由牛頓第二定律得
   N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得 N=7mg
由牛頓第三定律可知，球經(jīng)過C點時對管的作用力大小為7mg．故D正確．
故選：BCD

點評 本題關鍵明確小球的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律、向心力公式、平拋運動的分運動公式和機械能守恒定律列式求解．