Question

（2010?煙臺(tái)一模）如圖所示，在真空中，邊長為2b的虛線所圍的正方形區(qū)域ABCD內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離為b，板長為2b，O₁O₂為兩板的中心線．且O₁為磁場(chǎng)右邊界BC邊的中點(diǎn)．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，以速度v₀從DC邊某點(diǎn)P點(diǎn)沿垂直于DC的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)粒子從O₁點(diǎn)沿O₁O₂方向飛出磁場(chǎng)的同時(shí)，給M、N板間加上如圖所示交變電壓u（圖中U₀與T未知）．最后粒子剛好以平行于N板的速度，從N板的邊緣飛出．不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及粒子所受的重力．求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=

T

2

時(shí)，將相同粒子從MN板右側(cè)O₂點(diǎn)沿板的中心線O₂O₁方向，仍以速率v₀射入M、N之間，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，完成

1

4

圓弧后，垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，最后只好從N板邊緣飛出，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出電場(chǎng)變化的周期，最終列出極板間電壓的表達(dá)式．
當(dāng)t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌道結(jié)合幾何關(guān)系可求出圓周運(yùn)動(dòng)的周期，從而算出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：粒子自P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從O₁點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)半徑為b，
則qv0B=m

v 2 0

b

解得：B=

mv0

bq

 
粒子自O(shè)₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后恰好從N板的邊緣平行飛出，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則2b=v₀t

b

2

=2n?

1

2

?

qU0

mb

(

T

2

)2   
t=nT（n=1，2，…） 
解得：T=

2b

nv0

(n=1，2，…)  
U0=

nm v 2 0

2q

  (n=1，2，…)
（3）當(dāng)t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)，且進(jìn)入磁場(chǎng)的為v₀，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑仍為b，設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)的點(diǎn)為E，離開磁場(chǎng)的點(diǎn)為Q，圓心為O，
如圖所示，
OB=R-

b

2

=

b

2

     OQ=R=b
由cosθ=

OB

OQ

=

1

2

 
可得：θ=60°=

π

3

  
因?yàn)?span id="vd6uqbl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">T=

2πR

v0

，
得T=

2πb

v0

 
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

θ

2π

T=

T

6

=

πb

3v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題突破口：粒子自O(shè)₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后恰好從N板的邊緣平行飛出；當(dāng)t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)．