Question

17．如圖所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動(dòng)，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=45°，小球以速率v繞圓錐體軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)v₁=$\sqrt{\frac{gl}{2}}$時(shí)，求細(xì)線對(duì)小球的拉力；
（2）當(dāng)v₁=$\sqrt{\frac{3gl}{2}}$時(shí)，求細(xì)線對(duì)小球的拉力．

Answer 1

分析 先求出小球剛要離開錐面時(shí)的臨界速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當(dāng)小球剛要離開錐面時(shí)的臨界條件為圓錐體對(duì)小球的支持力N=0，由牛頓第二定律得：
mgtan45°=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Lsin45°}$
得：v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$
（1）因v₁＜v₀，則N₁≠0，對(duì)小球受力分析如圖1所示．則得
  T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
  T₁sinθ-N₁sinθ=$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsin45°}$
解之得：T₁=$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg
（2）因v₂＞v₀，物體離開斜面，對(duì)小球受力分析如圖2所示．
則T₂cosα-mg=0
  T₂sinα=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{Lsinα}$
解之得：F=2mg．
答：（1）當(dāng)v₁=$\sqrt{\frac{gl}{2}}$時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力是$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg；
（2）當(dāng)v₁=$\sqrt{\frac{3gl}{2}}$時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力是2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，正確分析物體的受力情況，再運(yùn)用牛頓第二定律求解．要注意小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不是L，而是Lsinθ．