Question

如圖甲所示，，在坐標(biāo)系xoy平面內(nèi)的第一象限，有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出）．電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=0.5N/s，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B=5T，方向垂直xoy平面，且隨時(shí)間做周期相變化，變化規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定垂直xoy 平面向里為磁場(chǎng)的正方向．一質(zhì)量為m=0.4kg，電荷量q=-8C的帶點(diǎn)小球，以初速度v₀=5m/s從y軸上的P點(diǎn)沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離H=8cm，不計(jì)磁場(chǎng)變化可能產(chǎn)生的一切其他影響，g=10m/s²．
（1）求小球離開第一象限時(shí)的位置坐標(biāo)
（2）如果在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場(chǎng)，求小球到達(dá)x軸時(shí)的速率（可用根號(hào)表示）．

Answer 1

分析：（1）分析小球的分析情況和運(yùn)動(dòng)情況：求出小球所受的重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力．根據(jù)計(jì)算，重力與電場(chǎng)力平衡，帶電小球由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出半徑，由幾何知識(shí)求出小球離開第一象限時(shí)的位置坐標(biāo)．
（2）在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場(chǎng)，只有重力對(duì)小球做功，其機(jī)械能守恒，求出小球到達(dá)x軸時(shí)的速率．

解答：解：（1）小球所受重力G=mg=0.4×10N=4N，方向豎直向下，電場(chǎng)力F=qE=4N，方向豎直向上，則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
則qv₀B=m

v 2 0

R

，得，R=

mv0

qB

代入解得，R=5cm
小球圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

=2π×10^-2s，小球圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期，則小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
圖中，y=H-R=3cm，sinθ=

y

R

=

3

5

，cosθ=

4

5

小球離開第一象限時(shí)的位置橫坐標(biāo)x=R+R（1-cosθ）=6cm
所以小球離開第一象限時(shí)的位置坐標(biāo)為（6cm，0）
（2）在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場(chǎng)，小球受到重力和洛倫茲力作用，洛倫茲力不做功，由機(jī)械能守恒得
   mg（H-h）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

代入解得，v=

26

m/s
答：
（1）小球離開第一象限時(shí)的位置坐標(biāo)為（6cm，0）．
（2）如果在小球離x軸的高度下降h=3cm后撤去電場(chǎng)，小球到達(dá)x軸時(shí)的速率為

26

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，要通過定量計(jì)算來分析三個(gè)場(chǎng)力的關(guān)系，判斷小球的運(yùn)動(dòng)情況．