Question

10．隨著我國探月三步走計劃的實現(xiàn)，中華兒女到月球上去旅游不再是夢想，將來有一天你可能會成功登上月球．若考慮月球自轉，設其自轉周期為T．用彈簧測力計在月球赤道測得某物體的重量為在其兩極時的k倍（k＜1）．假設月球可視為質量分布均勻的球體，引力常量為G．求月球的密度ρ

Answer 1

分析 在兩極，被測物的重力等于萬有引力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供向心力，通過以上兩個關系球月球的質量，結合月球的體積求出月球的密度．

解答 解：設月球的質量為M_月，半徑為R，被測物體的質量為m，在兩極測得物體的重量為P，
在兩極P=$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}$，
在赤道$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}-kP=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
月球的體積$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
月球的密度$ρ=\frac{{M}_{月}}{V}$，
聯(lián)立解得$ρ=\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．
答：月球的密度為$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵知道在兩極和赤道重力和萬有引力的關系，結合密度公式進行求解，難度不大．