Question

15．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF傾斜放置，其所在平面與水平面間的夾角為θ=30°，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌下端分別連著電容為C的電容器和阻值R=2r的電阻．一根質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒放在導(dǎo)軌上，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直并接觸良好，一根不可伸長(zhǎng)的絕緣輕繩一端拴在金屬棒中間、另一端跨過(guò)定滑輪與質(zhì)量M=4m的重物相連．金屬棒與定滑輪之間的輕繩始終在兩導(dǎo)軌所在平面內(nèi)且與兩導(dǎo)軌平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在平面向上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，初始狀態(tài)用手托住重物使輕繩恰處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，由靜止釋放重物，求：（重力加速度大小為g，不計(jì)滑輪阻力）
（l）若S₁閉合、S₂斷開(kāi)，重物的最大速度；
（2）若S₁和S₂均閉合，電容器的最大帶電量；
（3）若S₁斷開(kāi)、S₂閉合，重物的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件列方程求解重物的最大速度；
（2）求出S₁，S₂均閉合時(shí)電容器兩板間的最大電壓，根據(jù)Q=CU求解電容器的最大帶電量；
（3）S₁斷開(kāi)、S₂閉合時(shí)，分析安培力的大小，求出t到（t+△t）內(nèi)增加的電荷量，對(duì)金屬棒由牛頓第二定律列方程求解加速度大小，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

解答 解：（1）S₁閉合，S₂斷開(kāi)時(shí)，M由靜止釋放后拉動(dòng)金屬棒沿導(dǎo)軌向上做加速運(yùn)動(dòng)，金屬棒受到沿導(dǎo)軌向下的安培力作用，設(shè)最大速度為v_m，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv_m，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BL{v}_{m}}{3r}$，
當(dāng)金屬棒速度最大時(shí)有：Mg=mgsin30°+BIL，
解得：v_m=$\frac{3r（4m-0.5m）g}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{21mgr}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）S₁，S₂均閉合時(shí)，電容器兩板間的最大電壓U=U_R=IR=$\frac{（M-msin30°）gR}{BL}$=$\frac{7mgr}{BL}$，
電容器的最大帶電量Q=CU=$\frac{7mgrC}{BL}$；
（3）S₁斷開(kāi)、S₂閉合時(shí)，設(shè)從釋放M開(kāi)始經(jīng)時(shí)間t金屬棒的速度大小為v，加速度大小為a，通過(guò)金屬棒的電流為i，金屬棒受到的安培力F=BiL，方向沿導(dǎo)軌向下，
設(shè)在時(shí)間t到（t+△t）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為△Q，△Q也是平行板電容器在t到（t+△t）內(nèi)增加的電荷量，△Q=CBL•△v，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得△v=a△t，
則i$\frac{△Q}{△t}$=CBLa，
設(shè)繩中拉力為T(mén)，由牛頓第二定律，對(duì)金屬棒有：T-mgsin30°-BiL=ma，
對(duì)M有：Mg-T=Ma，
解得：a=$\frac{M-msin30°}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}g$=$\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}$，
可知M做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，v=at=$\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}•t$．
答：（l）若S₁閉合、S₂斷開(kāi)，重物的最大速度為$\frac{21mgr}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若S₁和S₂均閉合，電容器的最大帶電量$\frac{7mgrC}{BL}$；
（3）若S₁斷開(kāi)、S₂閉合，重物的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為$v=\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}•t$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．