Question

5．如圖所示是某公園中的一項(xiàng)游樂(lè)設(shè)施，半徑為R=2.5m、r=1.5m的兩圓形軌道甲和乙安裝在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)讓可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為10kg的無(wú)動(dòng)力小滑車(chē)從A點(diǎn)由靜止釋放，剛好可以滑過(guò)甲軌道后經(jīng)過(guò)CD段又滑上乙軌道后離開(kāi)兩圓形軌道，然后從水平軌道飛入水池內(nèi)，水面離水平軌道的高度h=5m，所有軌道均光滑，g=10m/s²．
（1）求小球到甲軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度v．
（2）求小球到乙軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)乙軌道的壓力．
（3）若在水池中MN范圍放上安全氣墊（氣墊厚度不計(jì)），水面上的B點(diǎn)在水平軌道邊緣正下方，且BM=10m，BN=15m；要使小滑車(chē)能通過(guò)圓形軌道并安全到達(dá)氣墊上，則小滑車(chē)起始點(diǎn)A距水平軌道的高度該如何設(shè)計(jì)？

Answer 1

分析 （1）小車(chē)在C軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道恰好無(wú)壓力，根據(jù)重力恰好等于向心力列式求解；
（2）對(duì)從C軌道最高點(diǎn)到D軌道最高點(diǎn)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解D軌道最高點(diǎn)速度，再根據(jù)在D軌道最高點(diǎn)時(shí)重力和彈力的合力提供向心力列式求解彈力大小；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，再對(duì)從開(kāi)始到平拋起點(diǎn)的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）在甲軌道最高點(diǎn)P有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入解得：v=5m/s
即小車(chē)通過(guò)C軌道最高點(diǎn)的速度為5m/s；
（2）從甲軌道最高點(diǎn)P到乙軌道最高點(diǎn)Q，由動(dòng)能定理得：
mg（2R-2r）=$\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$
在D軌道最高點(diǎn)：
mg+F=m$\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{r}$
代入解得：N=333.3N
由牛頓第三定律知，小車(chē)對(duì)軌道的壓力為333.3N；
（3）設(shè)剛好過(guò)P點(diǎn)，下落高度為h₁，
從A到P，由動(dòng)能定理得：
mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}$mv_P²
解得 h₁=6.25m，所以h≥6.25m…①
又：設(shè)物體到水平臺(tái)右端E點(diǎn)速度為 v_E，從E平拋剛好到M點(diǎn)：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=5m
x₁=v_E1t=10m
解得 v_E1=10m/s
從E平拋剛好到N點(diǎn)：x₂=v_E2t=15m
解得：v_E2=15m/s
要使物體落在MN范圍，10m/s≤v_E≤15m/s．
從A到E，由動(dòng)能定理得
mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}$-0
則5m≤h≤11.25m…②
由①②得：6.25m≤h≤11.25m
答：（1）小球到甲軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度v是5m/s．
（2）小球到乙軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)乙軌道的壓力是333.3N．
（3）小滑車(chē)起始點(diǎn)A距水平軌道的高度范圍為6.25m≤h≤11.25m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)向心力公式、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式、動(dòng)能定理列式求解；切入點(diǎn)在于小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力．