Question

（2009?天津）2008年12月，天文學(xué)家們通過觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.50×10²天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．觀測(cè)得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年．
（1）若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50×10²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量M_A是太陽(yáng)質(zhì)量M_s的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；
（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛．由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢(shì)能為E_p=-G

Mm

R

（設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零），式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑．已知引力常量G=6.7×10^-11N?m²/kg²，光速c=3.0×10⁸m/s，太陽(yáng)質(zhì)量M_s=2.0×10³⁰kg，太陽(yáng)半徑R_s=7.0×10⁸m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑R_A與太陽(yáng)半徑R_g之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）．

Answer 1

分析：研究S2星繞人馬座A*做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出人馬座A*的質(zhì)量．
研究地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出太陽(yáng)的質(zhì)量．
根據(jù)題目提供的信息，篩選出有用的信息，結(jié)合功能關(guān)系，求出問題．

解答：解：（1）S2星繞人馬座A*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A*對(duì)S2星的萬(wàn)有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則G

MAmS2

r2

=m_S2ω²r ①
ω=

2π

T

②
設(shè)地球質(zhì)量為m_E，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r_E，周期為T_E，研究地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力則
G

MSmE

r 2 E

=m_Eω²r_E ③
綜合上述三式得

MA

MS

=(

r

rE

)3(

TE

T

)2
式中  T_E=1年，r_E=1天文單位，
代入數(shù)據(jù)可得

MA

MS

=4×10⁶
（2）引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無(wú)限遠(yuǎn)，此時(shí)粒子的勢(shì)能為零．“處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有

1

2

mc²-G

Mm

R

＜0  ④
依題意可知R=R_A，M=M_A
可得R_A＜

2GMA

c2

  ⑤
代入數(shù)據(jù)得R_A＜1.2×10¹⁰ m
所以：

RA

RS

＜17 
答：（1）人馬座A*的質(zhì)量M_A是太陽(yáng)質(zhì)量M_s的4×10⁶倍，
（2）在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑R_A與太陽(yáng)半徑R_g之比應(yīng)小于17．

點(diǎn)評(píng)：本題考查天體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)．其中第2小題為信息題，如“黑洞”“引力勢(shì)能”等陌生的知識(shí)都在題目中給出，考查學(xué)生提取信息，處理信息的能力，體現(xiàn)了能力立意．
求一個(gè)物理量之比，我們可以把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來(lái)，再進(jìn)行之比．