Question

15．如圖所示，BC 為半徑等于$\frac{2}{5}\sqrt{2}$m豎直放置的光滑細(xì)圓管，O為細(xì)圓管的圓心，在圓管的末端C連接傾斜角為45°、動摩擦因數(shù)μ=0.6的足夠長粗糙斜面，一質(zhì)量為m=0.5kg的小球從O點正上方某處A點以v₀水平拋出，恰好能垂直O(jiān)B從B點進入細(xì)圓管，小球從進入圓管開始受到始終豎直向上的力F=5N的作用，當(dāng)小球運動到圓管的末端C時作用力F立即消失，小球能平滑地沖上粗糙斜面．（g=10m/s²）求：
（1）小球從O點的正上方某處A點水平拋出的初速度v₀為多少？OA的距離為多少？
（2）小球在圓管中運動時對圓管的壓力是多少？
（3）小球在CD斜面上運動的最大位移是多少？

Answer 1

分析 （1）小球從A運動到B為平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律及幾何關(guān)系求解初速度和OA的距離；
（2）小球從B到O過程力F和重力平衡，做勻速圓周運動；先求出B點的速度，根據(jù)向心力公式求解細(xì)管對小球的作用力；
（3）對從C到D過程，先受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解出加速度；然后運用運動學(xué)公式求解位移．

解答 解：（1）小球從A運動到B為平拋運動，有：
rsin45°=v₀t
在B點，有：tan45°=$\frac{gt}{{v}_{0}}$
解以上兩式得：v₀=2m/s，t=0.2s
則AB豎直方向的距離為：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.04=0.2m$，
OB豎直方向距離為：h′=rsin45°=0.4m，
則OA=h+h′=0.2+0.4=0.6m
（2）在B點據(jù)平拋運動的速度規(guī)律有：v_B=$\frac{{v}_{0}}{sin45°}=2\sqrt{2}$m/s
小球在管中的受力分析為三個力：由于重力與外加的力F平衡，故小球所受的合力僅為管的外軌對它的壓力，得小球在管中做勻速圓周運動，由圓周運動的規(guī)律得細(xì)管對小球的作用力為：N=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{r}$=5$\sqrt{2}$N
根據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)��?xì)管的壓力為：N′=N=5$\sqrt{2}$N；
（3）在CD上滑行到最高點過程，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsin45°+μmgcos45°=ma
解得：a=g（sin45°+μcos45°）=$8\sqrt{2}$m/s²
根據(jù)速度位移關(guān)系公式，有：
$x=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{8}{2×8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}m$．
答：（1）小球從O點的正上方某處A點水平拋出的初速度v₀為2m/s，OA的距離為0.6m；
（2）小球在圓管中運動時對圓管的壓力是5$\sqrt{2}$N；
（3）小球在CD斜面上運動的最大位移為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$m．

點評 本題主要考查了平拋運動的基本規(guī)律及向心力公式的應(yīng)用，解題時注意結(jié)合幾何關(guān)系，難度適中．