Question

（2007?鹽城模擬）已知一顆人造衛(wèi)星在半徑為R的某行星上空繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)通過(guò)的弧長(zhǎng)為S，衛(wèi)星與行星的中心連線掃過(guò)的角度是θ弧度（已知引力常量為G）．求：
（1）人造衛(wèi)星距該行星表面的高度h；
（2）該行星的質(zhì)量M；
（3）該行星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弧長(zhǎng)等于半徑乘以圓心角求解軌道半徑，最后得到高度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力定律提供向心力列式求解；
（3）行星的第一宇宙速度是近地軌道的環(huán)繞速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解．

解答：解：（1）弧長(zhǎng)S=rθ
高度h=r-R
故：h=

S

θ

-R；
（2）線速度：v=

S

t

萬(wàn)有引力定律提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
G

Mm

r2

=m

v2

r

解得：M=

S3

θGt2

；
（3）行星的第一宇宙速度是近地軌道的環(huán)繞速度，萬(wàn)有引力提供向心力，故

GMm

R2

=m

v 2 1

R

解得：v1=

S3 θt2R

；
答：（1）人造衛(wèi)星距該行星表面的高度h為

S

θ

-R；
（2）該行星的質(zhì)量M為

S3

θGt2

；
（3）該行星的第一宇宙速度為

S3 θt2R

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解，不難．