Question

12．如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O′，O和O′處在同一豎直線上．在兩板之間有一個帶負(fù)電的、質(zhì)量為m的質(zhì)點P．已知A、B間所加電壓為U₀時，質(zhì)點P所受的電場力恰好與重力平衡．$T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示隨時間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個周期內(nèi)的某一時刻t₀，在A、B 間的中點處由靜止釋放質(zhì)點P，一段時間后質(zhì)點P從金屬板的小孔飛出．試求：

（1）質(zhì)點P所帶的電量q和某一時刻t₀釋放時的加速度a．
（2）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點在飛出小孔之前運動的時間最短．
（3）t₀在哪一時刻，可使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大；并求出最大動能．

Answer 1

分析 分析質(zhì)點的運動情況：在第一個周期內(nèi)，若質(zhì)點在前半周內(nèi)釋放，可能先向上做勻加速直線運動，后向上做勻減速直線運動；后半周內(nèi)釋放，可能先向下做勻加速直線運動，后向下做勻減速直線運動．要使質(zhì)點飛出小孔之前時間最短，必須一直加速，而且加速度較大．向上或向下的加速度大小由牛頓第第二定律求出，向下的加速度大，故質(zhì)點須在后半周內(nèi)某個時刻釋放，且運動時間小于$\frac{1}{2}$T，質(zhì)點在飛出小孔之前運動的時間即最短；要使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達(dá)小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)點P的質(zhì)量為m，電量為q，當(dāng)A、B間的電壓為U₀時，有  q$\frac{U_0}y4fdfln$=mg  
q=$\frac{mgd}{{U}_{0}}$
當(dāng)兩板間的電壓為2U₀時，P的加速度向上，其大小為a₁，則 q$\frac{{2{U_0}}}w0ipidc$-mg=ma₁    
解得     a₁=g              
當(dāng)兩板間的電壓為-2U₀時，P的加速度向下，其大小為a₂，則 q$\frac{{2{U_0}}}islcqvw$+mg=ma₂
解得  a₂=3g              
（2）要使質(zhì)點在飛出小孔之前運動的時間最短，須使質(zhì)點釋放后一直向下加速運動．設(shè)質(zhì)點釋放后經(jīng)過時間t到達(dá)小孔O’，則 $\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$
解得$t=\sqrt{\fracj3di7c3{3g}}$
因為$T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$，所以$t＜\frac{T}{2}$，質(zhì)點到達(dá)小孔之前能一直加速．
因此要使質(zhì)點在飛出小孔之前運動的時間達(dá)到最短，質(zhì)點釋放的時刻t₀應(yīng)滿足 $\frac{T}{2}≤{t_0}≤T-t$
即 $\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t_0}≤5\sqrt{\fracftxuxit{3g}}$
（3）要使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達(dá)小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’．0=v₁-3gt₂$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}gt_1^2+（{v_1}{t_2}-\frac{1}{2}•3gt_2^2）$
由以上各式解得  ${t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，${t_2}=\sqrt{\fracs7ngeob{12g}}$
設(shè)質(zhì)點釋放后向上加速時間為t₁、向上減速時間為t₂，則  v₁=gt₁因為${t_1}＜\frac{T}{2}$，${t_2}＜\frac{T}{2}$，因此質(zhì)點P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．
設(shè)質(zhì)點從小孔O向下加速運動到小孔O’經(jīng)過的時間為t₃，則 $d=\frac{1}{2}•3gt_3^2$
解得   ${t_3}=\sqrt{\frac{2d}{3g}}$
因為${t_2}+{t_3}=\frac{{（1+2\sqrt{2}）}}{{2\sqrt{3}}}\sqrt{\fracl8blkq8{g}}＜\frac{T}{2}$，因此質(zhì)點P能從小孔O向下一直加速運動到小孔O’，此時質(zhì)點P從小孔O’飛出時的速度達(dá)到最大．
因此，要使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大，質(zhì)點P釋放的時刻應(yīng)為${t_0}=\frac{T}{2}-{t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$
E_k=3mgd     
答：（1）質(zhì)點P所帶的電量q為$\frac{mgd}{{U}_{0}}$和某一時刻t₀釋放時的加速度a分別為g，3g．
（2）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t}_{0}≤5\sqrt{\fracph1iaap{3g}}$范圍內(nèi)，可使質(zhì)點在飛出小孔之前運動的時間最短．
（3）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，可使質(zhì)點P從小孔飛出時的速度達(dá)到最大；最大動能為3mgd

點評 帶電粒子在電場中運動的問題，是電場知識和力學(xué)知識的綜合應(yīng)用，分析方法與力學(xué)分析方法基本相同，關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況和運動情況．