Question

（22分）有一放在空氣中的玻璃棒，折射率，中心軸線長，一端是半徑為的凸球面。

1．要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸線為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？

2．對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來的平行入射光柬與玻璃棒的主光軸成小角度時(shí)，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）。

Answer 1

解析：

1. 對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖所示，圖中為左端球面的球心．

 

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

        （1）

即                                       （2）

光線射到另一端面時(shí)，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點(diǎn)的左方，等于球面的半徑，如圖所示，仿照上面對(duì)左端球面上折射的關(guān)系可得

                                     （3）

又有                                      （4）

由（2）、（3）、（4）式并代入數(shù)值可得

                                         （5）

即右端為半徑等于5的向外凸的球面．

2. 設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線用①、②表示，令①過，②過，如圖所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)，即為左端球面對(duì)此無限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)．現(xiàn)在求點(diǎn)的位置。在中

                  （6）

又                                    （7）

已知，均為小角度，則有

                                     （8）

 

與（2）式比較可知，，即位于過垂直于主光軸的平面上．上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過點(diǎn)的傍軸光線從棒的右端面射出時(shí)都將是相互平行的光線．容易看出，從射出的光線將沿原方向射出，這也就是過點(diǎn)的任意光線（包括光線①、②）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸的夾角即為，由圖可得

                 （9）

由（2）、（3）式可得

則                                         （10）