Question

3．如圖所示，在方向豎直向上、大小為E=1×10⁶V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，固定一個(gè)穿有A、B兩個(gè)小球（均視為質(zhì)點(diǎn)）的光滑絕緣圓環(huán)，圓環(huán)在豎直平面內(nèi)，圓心為O、半徑為R=0.2m．A、B用一根絕緣輕桿相連，A帶的電荷量為q=+7×10^-7C，B不帶電，質(zhì)量分別為m_A=0.01kg、m_B=0.08kg．將兩小球從圓環(huán)上的圖示位置（A與圓心O等高，B在圓心O的正下方）由靜止釋放，兩小球開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)．重力加速度大小為g=10m/s²．
（1）通過(guò)計(jì)算判斷，小球A能否到達(dá)圓環(huán)的最高點(diǎn)C？
（2）求小球A的最大速度值．
（3）求小球A從圖示位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，其電勢(shì)能變化的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A、B在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，分別對(duì)A、B由動(dòng)能定理列方程求解速度大小，由此判斷A能不能到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)． 
（2）A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和角速度均相同，對(duì)A、B分別由動(dòng)能定理列方程聯(lián)立求解最大速度；
（3）A、B從圖示位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)兩球速度為0時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，電勢(shì)能減少最多，根據(jù)電勢(shì)能的減少與電場(chǎng)力做功關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)A、B在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，輕桿對(duì)A、B做的功分別為W_T、${W_T}^′$，則：${W_T}+{W_T}^′=0$①
設(shè)A、B到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)的動(dòng)能分別為E_KA、E_KB，
對(duì)A由動(dòng)能定理：qER-m_AgR+W_T1=E_KA②
對(duì)B由動(dòng)能定理：${W_{T1}}^′-{m_B}gR={E_{KB}}$③
聯(lián)立解得：E_KA+E_KB=-0.04J④
上式表明：A在圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為負(fù)值，故A不能到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)． ⑤
（2）設(shè)B轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)，A、B的速度大小分別為v_A、v_B，因A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和角速度均相同，故：v_A=v_B⑥
對(duì)A由動(dòng)能定理：$qERsinα-{m_A}gRsinα+{W_{T2}}=\frac{1}{2}{m_A}v_A^2$⑦
對(duì)B由動(dòng)能定理：${W_{T2}}^′-{m_B}gR（1-cosα）=\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$⑧
聯(lián)立解得：$v_A^2=\frac{8}{9}×（3sinα+4cosα-4）$⑨
由上式解得，當(dāng)$tanα=\frac{3}{4}$時(shí)，A、B的最大速度均為${v_{max}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}m/s$
（3）A、B從圖示位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)兩球速度為0時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，電勢(shì)能減少最多，由⑨式得：3sinα+4cosα-4=0
解得：$sinα=\frac{24}{25}$或sinα=0（舍去）
故A的電勢(shì)能減少：$\left|△\right.\left.{E_p}\right|=qERsinα=\frac{84}{625}J=0.1344J$．
答：（1）小球A不能到達(dá)圓環(huán)的最高點(diǎn)C；
（2）小球A的最大速度值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}m/s$．
（3）小球A從圖示位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，其電勢(shì)能變化的最大值為0.1344J．

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，可以從兩條線索展開(kāi)：其一，力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動(dòng)能定理進(jìn)行解答．