Question

11．如圖所示，運動員穩(wěn)坐在水平光滑軌道車上以速率v₀向右運動．若運動員能以下列方式完成接球和拋球：接到水平相向運動，動量為P、質(zhì)量為m的小球后，經(jīng)過△T時間再以同樣大小的動量P將小球向右水平拋出，并緊接著不斷重復上述過程．最終運動員與軌道車停下來．設運動員與軌道車的總質(zhì)量為M．求運動員從第一次接球至停下來前進的總路程．

Answer 1

分析 每次人接球和拋球的過程，人和球的總動量守恒．在接與拋之間小車勻速運動．根據(jù)動量守恒定律和運動學公式分別研究第一次接、第二接球…運動員的路程，運用歸納法得到總路程．

解答 解：人接球過程中動量守恒，共同速度設為v₁，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
   Mv₀-P=（M+m）v₁，得 v₁=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$
之后在△T時間內(nèi)運動員通過的距離 s₁=v₁△T=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T
拋出球后的速度為  v₁′=$\frac{M{v}_{0}-2P}{M}$．
第二次過程：Mv₁′-P=（M+m）v₂，v₂=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$
之后在△T時間內(nèi)運動員通過的距離 s₂=v₂△T=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T
拋出球后的速度為  v₂′=$\frac{M{v}_{0}-4P}{M}$
最后拋球后運動員與軌道車最終停止，設共k次過程，v_k′=0，Mv₀-2kP=0，k=$\frac{M{v}_{0}}{2P}$
運動員前進的總路程為 s=s₁+s₂+…+s_k=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T+$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T+…=k$\frac{M{v}_{0}-kP}{M+m}$△T=$\frac{{M}^{2}{v}_{0}^{2}△T}{4P（M+m）}$
若最后一次接球后運動員與軌道車恰好靜止，不需再拋球，則 Mv₀-（2k-1）P=0
所以總路程為 s=s₁+s₂+…+s_k-1=（k-1）$\frac{M{v}_{0}-（k-1）P}{M+m}$△T=$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$
答：運動員從第一次接球至停下來前進的總路程為$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$．

點評 本題理清運動過程，善于建立模型，關鍵要運用歸納法得到速度的表達式．