Question

7．如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球，從斜面上的A點(diǎn)以一定的初速度水平拋出，到達(dá)圓弧B點(diǎn)時(shí)，恰好沿B點(diǎn)的切線方向，進(jìn)入固定在水平地面上豎直放置的半徑為R=0.4m的光滑圓弧軌道，最后小球剛好能過(guò)最高點(diǎn)D．B點(diǎn)和圓弧圓心O的連線OB與豎直方向的半徑OC的夾角θ=60°，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球水平拋出的初速度的大小；
（3）小球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）小球剛好能過(guò)最高點(diǎn)D，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度．
（2）小球在光滑圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，遵守機(jī)械能守恒定律，由此定律可求得B點(diǎn)的速度．根據(jù)B點(diǎn)的速度沿B點(diǎn)的切線方向，將B點(diǎn)的速度進(jìn)行分解可求得平拋運(yùn)動(dòng)的初速度．
（3）設(shè)斜面的傾角為α，根據(jù)tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$，求出α．當(dāng)小球的速度平行于斜面時(shí)離斜面最遠(yuǎn)．由速度時(shí)間公式求出時(shí)間．將小球的平拋運(yùn)動(dòng)分解到垂直于斜面和平行于斜面兩個(gè)方向，由分位移公式求解離斜面的最遠(yuǎn)距離．

解答 解：（1）在D點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
則有：v_D=$\sqrt{gR}$=2m/s
（2）小球從B運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR（1+cos60°）+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
則得：v_B=4m/s
設(shè)小球水平拋出的初速度的大小為v₀．
據(jù)題，小球到達(dá)圓弧B點(diǎn)時(shí)恰好沿B點(diǎn)的切線方向，速度與水平方向的夾角為60°．
則有：v₀=v_Bcos60°=2m/s
（3）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，豎直分速度為：
v_y=v_Bsin60°=2$\sqrt{3}$m/s
設(shè)斜面的傾角為α，根據(jù)tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得：cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
設(shè)小球從拋出經(jīng)過(guò)時(shí)間T時(shí)離斜面最遠(yuǎn)．此時(shí)小球的速度與斜面平行．
則 gT=v₀tanα
可得 T=$\frac{\sqrt{3}}{10}$s
將小球的平拋運(yùn)動(dòng)分解到垂直于斜面和平行于斜面兩個(gè)方向，垂直于斜面方向的分初速度為 v₀sinα，分加速度大小為 gcosα
則離斜面的最遠(yuǎn)距離為：
S=v₀sinαT-$\frac{1}{2}gcosα{•T}^{2}$
聯(lián)立解得：S=$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m
答：（1）小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大小是2m/s；
（2）小球水平拋出的初速度的大小是2m/s；
（3）小球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離是$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是抓住圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和離斜面最遠(yuǎn)的距離．平拋運(yùn)動(dòng)的分解法有兩種，兩種都需要知道．