Question

17．自由式滑雪空中技巧是一項(xiàng)有極大觀賞性的運(yùn)動(dòng)，其場(chǎng)地由①出發(fā)區(qū)、②助滑坡、③過(guò)渡區(qū)（由兩段不同半徑的圓弧平滑相連，其中CDE弧的半徑為3m，DE弧的圓心角60°）、④跳臺(tái)（高度可選）組成．比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員由A點(diǎn)進(jìn)入助滑區(qū)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)渡區(qū)后沿跳臺(tái)的斜坡勻減速滑至跳臺(tái)F處飛出，運(yùn)動(dòng)員的空中動(dòng)作一般須在54km/h到68km/h的速度下才能成功完成，③④不計(jì)摩擦和空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）某運(yùn)動(dòng)員選擇由A點(diǎn)無(wú)初速滑下，測(cè)得他在②、④兩段運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為t₁：t₂=3：1，且已知AB=2EF，則運(yùn)動(dòng)員在這兩坡段運(yùn)動(dòng)平均速度之比及加速度之比各為多少？
（2）另一質(zhì)量60kg的運(yùn)動(dòng)員，選擇高h(yuǎn)=4m的跳臺(tái)，他要成功完成動(dòng)作，在過(guò)渡區(qū)最低點(diǎn)D處至少要承受多大的支持力？
（3）試求為了能成功完成空中動(dòng)作，助滑過(guò)程中他至少需要消耗多少體能？

Answer 1

分析 （1）通過(guò)平均速度的定義，并勻變速運(yùn)動(dòng)加速度和速度的關(guān)系求得速度之比、加速度之比；
（2）通過(guò)機(jī)械能守恒求得D點(diǎn)的最小速度，然后由牛頓第二定律求得最小支持力；
（3）根據(jù)能量守恒得到消耗的體能．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員在②④上做勻變速運(yùn)動(dòng)，故兩段運(yùn)動(dòng)的平均速度之比$\frac{\overline{{v}_{AB}}}{\overline{{v}_{EF}}}=\frac{\frac{AB}{{t}_{1}}}{\frac{EF}{{t}_{2}}}=\frac{2}{3}$；
運(yùn)動(dòng)員在BCDE上運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，那么，運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)和E點(diǎn)的速度相同，設(shè)都為v₁；
那么，在②上的加速度為：${a}_{1}=\frac{{v}_{1}-\overline{{v}_{AB}}}{\frac{1}{2}{t}_{1}}=\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$
在④上的加速度為：${a}_{2}=\frac{\overline{{v}_{EF}}-{v}_{1}}{\frac{1}{2}{t}_{2}}=\frac{\frac{3}{2}\overline{{v}_{AB}}-{v}_{1}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{t}_{1}}=\frac{\frac{3}{4}{v}_{1}-{v}_{1}}{\frac{1}{6}{t}_{1}}$=$-\frac{3}{2}\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$；
故運(yùn)動(dòng)員在這兩坡段運(yùn)動(dòng)加速度大小之比$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2}{3}$；
（2）運(yùn)動(dòng)員的空中動(dòng)作一般須在54km/h到68km/h的速度下才能成功完成，即為：$15m/s≤{v}_{F}≤\frac{170}{9}m/s$；
運(yùn)動(dòng)員從D到F運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=mg（h+R-Rcos60°）+\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}$；
對(duì)運(yùn)動(dòng)員在D點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}$；
故v_F越小，v_D越小，F(xiàn)_N越��；所以，v_Fmin=15m/s，${v}_{Dmin}=\sqrt{335}m/s$，F(xiàn)_Nmin=7300N；
（3）A到F過(guò)程只有重力做功，機(jī)械能守恒，故由能量守恒可知：助滑過(guò)程中他不需要消耗體能．
答：（1）某運(yùn)動(dòng)員選擇由A點(diǎn)無(wú)初速滑下，測(cè)得他在②、④兩段運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為t₁：t₂=3：1，且已知AB=2EF，則運(yùn)動(dòng)員在這兩坡段運(yùn)動(dòng)平均速度之比為$\frac{2}{3}$，加速度之比為$\frac{2}{3}$；
（2）另一質(zhì)量60kg的運(yùn)動(dòng)員，選擇高h(yuǎn)=4m的跳臺(tái)，他要成功完成動(dòng)作，在過(guò)渡區(qū)最低點(diǎn)D處至少要承受7300N的支持力；
（3）為了能成功完成空中動(dòng)作，助滑過(guò)程中他不需要消耗體能．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．