Question

16．如圖為某自動(dòng)投放器的示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為R的豎直管道，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投放時(shí)，若將彈簧長(zhǎng)度壓縮了0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)且質(zhì)量為m的小球，解除鎖定，彈簧可將小球彈射出去．當(dāng)小球到達(dá)頂端C時(shí)，對(duì)軌道壁的壓力恰好為零，不計(jì)一切阻力，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g，求：
（1）小球到達(dá)頂端C時(shí)的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮了0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p1；
（3）若將彈簧壓縮了0.6R時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能為E_p2=$\frac{36}{25}$E_p1，小球落地點(diǎn)離OO′的水平距離s是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢(shì)能等于魚餌增加的機(jī)械能．
（3）分別求出質(zhì)量是m和的魚餌離開C時(shí)的速度，再利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，完全由重力提供，
則mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$    …①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$    …②
（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過程中，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有 
E_P=mg（0.5R+R）+$\frac{1}{2}$mv₁²    …③
由②③式解得：E_p=2mgR…④
（3）設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律得：
E_P2=mg（0.6R+R）+$\frac{1}{2}$mv₂²      …⑤
魚餌離開管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間落到水面上，離OO'的水平距離為x，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：x=v₂t+R…⑥
h=2R=$\frac{1}{2}$gt²   ⑦
由⑤⑥⑦式解得：x=4.2R
答：（1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能為2mgR；
（3）小球落地點(diǎn)離OO′的水平距離是4.2R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意正確分析物理過程，明確各過程中的受力以及功能關(guān)系等，即可選擇正確的物理規(guī)律求解．