Question

8．如圖1，電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌PX、QY相距L=0.5m，底端連接電阻R=2Ω，導(dǎo)軌平面傾斜角θ=30°，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．質(zhì)量m=40g、電阻R=0.5Ω的金屬棒MN放在導(dǎo)軌上，金屬棒通過絕緣細(xì)線在電動(dòng)機(jī)牽引下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t₁=2s通過距離x=1.5m，速度達(dá)到最大，這個(gè)過程中電壓表示數(shù)U₀=8.0V，電流表實(shí)數(shù)I₀=0.6A，示數(shù)穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)過程中金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直，細(xì)線始終與導(dǎo)軌平行且在同一平面內(nèi)，電動(dòng)機(jī)線圈內(nèi)阻r₀=0.5Ω，g=10m/s²．求：

（1）細(xì)線對(duì)金屬棒拉力的功率P多大？
（2）從靜止開始運(yùn)動(dòng)的t₁=2s時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R是多大？
（3）用外力F代替電動(dòng)機(jī)沿細(xì)線方向拉金屬棒MN，使金屬棒保持靜止?fàn)顟B(tài)，金屬棒到導(dǎo)軌下端距離為d=1m．若磁場(chǎng)按照?qǐng)D2規(guī)律變化，外力F隨著時(shí)間t的變化關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）細(xì)線對(duì)金屬棒拉力的功率P等于電動(dòng)機(jī)的輸出功率，由題知電壓表和電流表的示數(shù)穩(wěn)定，說明電動(dòng)機(jī)的輸出功率不變，由輸入功率與內(nèi)電路消耗的功率之差求解電動(dòng)機(jī)的輸出功率，從而得解．
（2）金屬棒先沿導(dǎo)軌向上做加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，再由平衡條件求出金屬棒的最大速度，運(yùn)用能量守恒定律求解R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式和平衡條件求解F的表達(dá)式．

解答 解析：（1）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒，有：
拉力的功率P=I₀U₀-I₀²r₀=0.6×8.0-0.6²×0.5=4.68W      
（2）當(dāng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過t₁=2s時(shí)間，金屬棒速度達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)為v_m，金屬棒中電動(dòng)勢(shì)為E，電流為I₁，受到的安培力為F_安，細(xì)線的拉力為F_拉，則
  E=BLv_m
  I₁=$\frac{E}{R+r}$
  F_安=BI₁L
又 P=F_拉v_m．
速度最大時(shí)棒做勻速運(yùn)動(dòng)，則有
 F_拉=mgsinθ+F_安
解得v_m=1m/s
金屬棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度過程中，設(shè)整個(gè)電路中產(chǎn)生的熱量為Q，由能量轉(zhuǎn)化和守恒得：
  Pt=mgxsinθ+$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q
  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
解得 Q_R=0.224J                
（3）由圖可知 $\frac{△B}{△t}$=0.4T/s
設(shè)在t時(shí)刻，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，金屬棒中電動(dòng)勢(shì)為E′，電流為I′，受到的安培力為F_安′，則
 B′=（0.2+0.4t）（T）            
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E′=$\frac{△B}{△t}$Ld，
感應(yīng)電流  I′=$\frac{E′}{R+r}$
金屬棒所受的安培力 F_安′=B′I′L                      
根據(jù)平衡條件得 F=mgsinθ+F_安′
解得 F=0.016t+0.208（N）      
答：
（1）細(xì)線對(duì)金屬棒拉力的功率P為4.68W．
（2）從靜止開始運(yùn)動(dòng)的t₁=2s時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R是0.224J．
（3）外力F隨著時(shí)間t的變化關(guān)系式為F=0.016t+0.208 （N）．

點(diǎn)評(píng) 本題對(duì)綜合應(yīng)用電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高，要正確分析金屬棒的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，明確能量是如何轉(zhuǎn)化的，熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律求解電磁感應(yīng)問題．