Question

20．如圖所示，在圓形區(qū)域中圓心角為30°的扇面MON之外分布著垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子，自圓心O點垂直于OM以速度v射入磁場，粒子恰能兩次經(jīng)過邊界OM，不計粒子重力．
（1）粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r
（2）求粒子從O點射入到第一次穿過邊界ON的過程中，在磁場中運動的時間t
（3）若粒子第二次經(jīng)過邊界OM時，恰好經(jīng)過該邊界上的P點，求P點到ON的距離h
（4）若圓形區(qū)域無限大，現(xiàn)保持其它條件不變而將∠MON變?yōu)?5°，粒子從O點射出后穿越磁場邊界ON和OM的總次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）粒子，進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道半徑r．
（2）粒子從O點射入到第一次穿過邊界ON的過程中，偏轉(zhuǎn)角θ=120°，根據(jù)t=$\frac{θ}{360°}$T求時間t．
（3）畫出粒子的運動軌跡，由幾何關(guān)系求解P點到ON的距離h．
（4）將∠MON變?yōu)?5°，首次從ON邊界向下穿出時與之夾角為75°，首次向上穿出OM時與之夾角為60°，每次從邊界向扇面區(qū)穿出，均比上次夾角減小15°，直到向上穿出時，與ON夾角為15°，不再進入磁場，可得到穿越邊界的次數(shù)為9次．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得 r=$\frac{mv}{qB}$
（2）粒子第一次穿過邊界ON時，偏轉(zhuǎn)角θ=120°
則粒子在磁場中運動的時間 t=$\frac{θ}{360°}$T，其中T=$\frac{2πm}{qB}$
解得：t=$\frac{2πm}{3qB}$．
（3）粒子在磁場中運動軌跡如圖所示：
在△O₁AB中，O₁B=$\frac{{O}_{1}A}{sin30°}$=2r
在△O₂PB中，PB=2PC=2rsin30°=r
所以：O₁P=O₁B-PB=r，OP=OO₁+OP=2r
P點到ON的距離 h=OPsin30°=r=$\frac{mv}{qB}$
（4）∠MON變?yōu)?5°，首次從ON邊界向下穿出時與之夾角為75°，首次向上穿出OM時與之夾角為60°，每次從邊界向扇面區(qū)穿出，均比上次夾角減小15°，直到向上穿出時，與ON夾角為15°，不再進入磁場，故穿越邊界的次數(shù)為9次．
答：（1）粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r為$\frac{mv}{qB}$．
（2）粒子從O點射入到第一次穿過邊界ON的過程中，在磁場中運動的時間t為$\frac{2πm}{3qB}$．
（3）若粒子第二次經(jīng)過邊界OM時，恰好經(jīng)過該邊界上的P點，P點到ON的距離h為$\frac{mv}{qB}$．
（4）若圓形區(qū)域無限大，現(xiàn)保持其它條件不變而將∠MON變?yōu)?5°，粒子從O點射出后穿越磁場邊界ON和OM的總次數(shù)為9次．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，難度較大，過程復(fù)雜，關(guān)鍵在于用運動軌跡圖來尋找?guī)缀侮P(guān)系，確定長度及角度，將復(fù)雜運動形成規(guī)律進行簡化解決．