Question

12．2008年9月25日21時(shí)10分，神舟七號(hào)飛船成功發(fā)射，共飛行2天20小時(shí)27分鐘，繞地球飛行45圈后，于9月28日17時(shí)37分安全著陸．航天員翟志剛著“飛天”艙外航天服，在劉伯明的配合下，成功完成了空間出艙活動(dòng)，進(jìn)行了太空行走．出艙活動(dòng)結(jié)束后，釋放了伴飛衛(wèi)星，并圍繞軌道艙進(jìn)行伴飛實(shí)驗(yàn)．神舟七號(hào)是由長(zhǎng)征-2F運(yùn)載火箭將其送入近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，實(shí)施變軌后，進(jìn)入預(yù)定圓軌道，其簡(jiǎn)化的模擬軌道如圖所示．假設(shè)近地點(diǎn)A距地面高度為h，飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用的時(shí)間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑R，試求：
（1）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大��；
（2）飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力據(jù)此求解A處加速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由衛(wèi)星的周期求得速度．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m．
飛船在A點(diǎn)：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{a_A}$
對(duì)地面上質(zhì)量為m₀的物體：$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
解得：${a_A}=\frac{R^2}{{{{（R+h）}^2}}}g$
（2）飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的周期：$T=\frac{t}{n}$
設(shè)預(yù)定圓軌道半徑為r，則有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
又$v=\frac{2πr}{T}$
由以上幾式解得：$v=\root{3}{{\frac{{2πng{R^2}}}{t}}}$
答：（1）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的速度v的大小為$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用主要從以下兩點(diǎn)入手：一是星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力．