Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量為m=0.1kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊通過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）物塊平拋的水平距離
（2）物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間
（3）物塊能否到達(dá)M點(diǎn)，說明理由．

Answer 1

分析：（1）物塊離開D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達(dá)P點(diǎn)的速度方向，將P點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用位移公式和速度公式得出時(shí)間和豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開D點(diǎn)時(shí)的速度v_D，即可求得平拋的水平距離．
（2）將x=6t-2t²，與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式x=v₀t+

1

2

at2進(jìn)行比對(duì)，得到物塊通過B點(diǎn)后的初速度和加速度，由速度公式即可求得從B到D的時(shí)間，即可求得從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，有mg=m

v 2 M

R

，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

解答：解：（1）依題意可知，平拋經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度與水平方向夾角為45°．
由tan45°=

vy

vx

 平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
   v_x=v_D，v_y=gt₁
   s=v_Dt，R=

1

2

gt₁²
解得物體平拋的時(shí)間t₁=

2R g

=

2×0.8 10

=0.4s，
豎直分速度 v_y=gt₁=4m/s  
平拋水平初速度 v_D=4m/s
平拋水平距離s=1.6m              
將x=6t-2t²，與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式x=v₀t+

1

2

at2進(jìn)行比對(duì)，由可知物體經(jīng)過B點(diǎn)速度 v_B=6m/s，由B運(yùn)動(dòng)到D的加速度大小為a=-4m/s²．
又 v_D=4m/s
故物體由B運(yùn)動(dòng)到D的時(shí)間t2=

vD-vB

a

=

4-6

-4

s=0.5s
物體由B運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間    t=t₁+t₂=0.9s
（3）由（1）可知，物體經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小 v_P=

2

vD=4

2

m/s
假設(shè)物體能經(jīng)過M點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
-mg（R+Rcos45°）=

1

2

mv_M²-

1

2

mv_P²
 解得v_M=

16-8 2

m/s
設(shè)物體能經(jīng)過M點(diǎn)的臨界速度為v_min，則有mg=m

v 2 min

R

可知   v_min=2

2

 m/s
因v_M＜v_min，可知物體無法經(jīng)過M點(diǎn)
答：
（1）物塊平拋的水平距離是1.6m．
（2）物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間是0.9s．
（3）物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：該題是平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，該題中要熟練掌握機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題．