Question

【題目】一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O。筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中。粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過程中沒有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：

（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；

（2）圓筒的半徑R；

（3）保持M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變，僅將M板向上平移2d/3，粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放，粒子自進(jìn)入圓筒至從S孔射出期間，與圓筒的碰撞次數(shù)n。

Answer 1

【答案】（1） （2）　 （3）n = 3

【解析】（1）從M板邊緣的P處由靜止釋放到N板的小孔S處的過程中，因粒子重力不計(jì)，只有受電場(chǎng)力作用，且做正功，設(shè)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，兩板間的電壓為U，由動(dòng)能定理得：

由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得：U=Ed，聯(lián)立上式可得：。

（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力。由題設(shè)，帶電粒子每次與圓筒碰撞過程中發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，根據(jù)對(duì)稱性，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，運(yùn)用幾何關(guān)系做出軌跡圓圓心為，設(shè)軌跡圓半徑為r，第一次碰撞點(diǎn)為A，由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，因此，，SA弧所對(duì)的圓心角。

在中，由幾何關(guān)系得

粒子運(yùn)動(dòng)過程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，得

以上各式聯(lián)立解得：

（3）保持M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變，M板向上平移后，設(shè)板間電壓為，則

設(shè)粒子進(jìn)入S孔時(shí)的速度為，由可以看出

于是得　

設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則　

設(shè)粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌跡所對(duì)圓心角為θ，比較和兩式可得：，可見　，

根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，粒子須經(jīng)過四個(gè)這樣的圓弧才能從S孔射出，粒子軌跡如圖。故n=3

此題易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系分析不清。