Question

10．兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi)，兩導軌間的距離為L．導軌上橫放這兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖所示，兩根導體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒ab和棒cd之間的距離為d，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：
（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀時回路中的電流．
（2）當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣葀₀的$\frac{3}{5}$時，cd棒的加速度大小．
（3）穩(wěn)定棒ab和棒cd之間的距離．

Answer 1

分析 （1）本題中兩根導體棒的運動情況：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應電流，由法拉第電磁感應定律，求出棒ab產(chǎn)生的電動勢，再求出回路產(chǎn)生的電流大��；
（2）兩棒組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出棒的速度；此時電路中的總感應電動勢為二者的差，然后結合閉合電路的歐姆定律與牛頓第二定律即可求出加速度；
（3）穩(wěn)定時二者的速度相等，由動量守恒定律即可求出共同 的速度，然后對cd棒應用動量定理，結合通過棒的電量的表達式：q=$\frac{△Φ}{R}$即可求出．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應定律，棒PQ產(chǎn)生的電動勢為：E=BLv₀
則回路產(chǎn)生的電流大小為：I=$\frac{E}{2R}=\frac{BL{v}_{0}}{2R}$
（2）棒ab和cd在運動過程中始終受到等大反向的安培力，系統(tǒng)的動量守恒，設ab棒的速度為$\frac{3}{5}{v}_{0}$時cd棒的速度是v₁，以向右的方向為正方向，得：
mv₀=m$\frac{3}{5}{v}_{0}$+mv₁ 
解得${v}_{1}=\frac{2}{5}{v}_{0}$
此時回路中的總電動勢：E′=（$\frac{3}{5}{v}_{0}-\frac{2}{5}$v₀）BL=$\frac{BL{v}_{0}}{5}$
回路中的電流：I′=$\frac{E′}{2R}$
cd棒受到的安培力：F=BI′L
所以cd棒上的加速度：$a=\frac{F}{m}$
聯(lián)立得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$
（3）穩(wěn)定時二者速度相等，由動量守恒定律得：mv₀=2mv₂
設整個的過程中通過回路的電荷量為q，對cd棒由動量定理得：
$m{v}_{2}-0=B\overline{I}L•t=BLq$
所以：q=$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$
設穩(wěn)定后二者之間的距離是d′，則：q=$\frac{△Φ}{2R}=\frac{BL（d-d′）}{2R}$
聯(lián)立以上兩式得：$d′=d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀時回路中的電流是$\frac{BL{v}_{0}}{2R}$．
（2）當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣葀₀的$\frac{3}{5}$時，cd棒的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$．
（3）穩(wěn)定棒ab和棒cd之間的距離是$d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 該題考查電磁感應中的動量守恒定律，幾乎是最難的題目，應用到E=BLv、歐姆定律、動量守恒定律等知識點的內(nèi)容，在解答的過程中一定要注意對運動過程的把握，注意動量守恒的條件與動量定理應用的方式．