Question

12．打井施工時要將一質(zhì)量可忽略不計的堅硬底座A送到井底，由于A與井壁間摩擦力很大，工程人員采用了如圖所示的裝置．圖中重錘B質(zhì)量為m，下端連有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，工程人員先將B放置在A上，觀察到A不動；然后在B上再逐漸疊加壓塊，當壓塊質(zhì)量達到m時，觀察到A開始緩慢下沉時移去壓塊．將B提升至彈簧下端距井口為H₀處，自由釋放B，A被撞擊后下沉的最大距離為h₁，以后每次都從距井口H₀處自由釋放．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)．
（1）求下沉時A與井壁間的摩擦力大小f和彈簧的最大形變量△L；
（2）求撞擊下沉時A的加速度大小a和彈簧彈性勢能E_p；
（3）若第n次撞擊后，底座A恰能到達井底，求井深H．

Answer 1

分析 （1）A開始緩慢下沉時，受力平衡，根據(jù)平衡條件求解f，底座質(zhì)量不計，所以合力為零，結(jié)合胡克定律求解；
（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B，根據(jù)牛頓第二定律以及功能關(guān)系求解；
（3）A第二次下沉，由功能關(guān)系求出下降的距離與第一次下降距離的關(guān)系，同理求出第三次下降的距離與第一次下降距離的關(guān)系，進而求出第n次下沉過程中向下滑動的距離，再結(jié)合數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）A開始緩慢下沉時f=2mg                            
底座質(zhì)量不計，所以合力為零，所以始終有：
k△L=f
解得：△L=$\frac{2mg}{k}$            
（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B，根據(jù)牛頓第二定律有：
 k△L-mg=ma             
解得：a=g              
A第一次下沉，由功能關(guān)系有：
mg（H₀+△L+h₁）=E_P+fh₁
解得：E_P=mg（H₀-h₁+$\frac{2mg}{k}$）                       
（3）A第二次下沉，由功能關(guān)系有：
mg（H₀+△L+h₁+h₂）=E_P+fh₂
又    f=2mg
解得：h₂=2h₁   
A第三次下沉，由功能關(guān)系有：
mg（H₀+△L+h₁+h₂+h₃）=E_P+fh₃
解得：h₃=2h₁+h₂=4h₁
同理，A第n次下沉過程中向下滑動的距離為：
 h_n=2^n-1h₁             
所以井底深度為：H=h₁+h₂+…+h_n=（2^n-1-1）h₁．
答：（1）下沉時A與井壁間的摩擦力大小f和彈簧的最大形變量△L是$\frac{2mg}{k}$；
（2）撞擊下沉時A的加速度大小a是g，彈簧彈性勢能E_p是mg（H₀-h₁+$\frac{2mg}{k}$）；
（3）若第n次撞擊后，底座A恰能到達井底，井深H是h₁+h₂+…+h_n=（2^n-1-1）h₁．

點評 本題要求同學們能正確分析物體的受力情況，第三問能求出每次下降距離的數(shù)學表達式，采用歸納法進行研究．