Question

13．設想有一“小月亮”以周期T繞地球作圓周運動，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，地球自轉周期為T_E．太陽光可看作平行光，在“小月亮”上測出地球的張角為2α．
（1）“小月亮”在一天時間內經歷“日全食”多少次？
（2）每次“日全食”經歷的時間有多長？
（3）“小月亮”繞地球公轉、同時自轉，且自轉、公轉方向相同，自轉轉軸垂直于公轉軌道平面．已知“小月亮”的自轉周期為T₀．“小月亮”上的人連續(xù)兩次測定地球球心在天空中同一位置的時間間隔為“一日”，求這“一日”的時間T₁為多大？

Answer 1

分析 “小月亮”繞地球做勻速圓周運動，由“小月亮”的周期及半徑可求出“小月亮”的線速度，同時由引力提供向心力的表達式，可列出周期與半徑及角度α的關系．當“小月亮”進入地球的影子后出現“日全食”到離開陰影后結束，所以算出在陰影里轉動的角度，即可求出發(fā)生一次“日全食”的時間；由地球的自轉時間與“小月亮”的轉動周期，可求出一天內飛船發(fā)生“日全食”的次數．

解答 解：（1）“小月亮”繞地球勻速圓周運動，
線速度為v=$\frac{2πr}{T}$…①
又由幾何關系知sin$α=\frac{R}{r}$②
由①②解得：v=$\frac{2πR}{Tsinα}$
地球自轉一圈時間為T_E，飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，得一天內飛船經歷“日全食”的次數為 $\frac{{T}_{E}}{T}$，
（2）由幾何關系，飛船每次“日全食”過程的時間內飛船轉過2α角所需的時間為：t=$\frac{2αT}{2π}=\frac{αT}{π}$，
（3）設小月亮“一日”內公轉的角度為θ，則此時間內小月亮自轉的角度為2π+θ，
則有：$\frac{θ}{2π}=\frac{{T}_{1}}{T}$，$\frac{2π+θ}{2π}=\frac{{T}_{1}}{{T}_{0}}$，
解得：${T}_{1}=\frac{T{T}_{0}}{T-{T}_{0}}$
答：（1）“小月亮”在一天時間內經歷“日全食”$\frac{{T}_{E}}{T}$次；
（2）每次“日全食”經歷的時間為$\frac{αT}{π}$；
（3）這“一日”的時間T₁為為$\frac{T{T}_{0}}{T-{T}_{0}}$．

點評 掌握勻速圓周運動中線速度、角速度及半徑的關系，同時理解萬有引力定律，并利用幾何關系得出轉動的角度．