Question

如圖所示，一個(gè)

3

4

圓弧形光滑圓管軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，在A點(diǎn)與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計(jì)的墊子，左端M正好位于A點(diǎn)．將一個(gè)質(zhì)量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力，小球的半徑遠(yuǎn)小于R．
（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，求小球經(jīng)過圓管的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓管的作用力的大小和方向；
（2）欲使小球能通過圓管最高點(diǎn)C點(diǎn)后落到墊子上，求小球的釋放點(diǎn)離A點(diǎn)的高度H滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解小球經(jīng)過圓管的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)的速度．在C點(diǎn)，由重力和圓管的作用力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出圓管對(duì)小球的作用力，即可根據(jù)牛頓第三定律得到小球?qū)�圓管的作用力．
（2）小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大為4R，最小為R，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和機(jī)械能守恒結(jié)合求解．

解答：解：（1）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，
  豎直方向：R=

1

2

gt²
  水平方向：R=v₁t  
聯(lián)立解得，v₁=

1 2 gR

               
設(shè)小球以v₁經(jīng)過C點(diǎn)受到管對(duì)它的豎直向上的作用力為F_N，有：
   mg-F_N=m

v 2 1

R

解得：F_N=mg-m

v 2 1

R

=

mg

2

            
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�管作用力的大小�?span id="xozo9sc" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

mg，方向豎直向下．
（2）小球由靜止釋放的高度最大時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平位移為4R，打到N點(diǎn)．設(shè)能夠落到N點(diǎn)的水平速度為v₂，有：
  v₂=

4R

t

=

8gR

                  
設(shè)小球離A點(diǎn)的最大高度為H₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=

1

2

mv

2 2

              
解得：H₂=

v 2 2

2g

+R=5R             
同理：設(shè)小球離A點(diǎn)的最小高度為H₁，有
  mg（H₁-R）=

1

2

mv₁²
解得：H₁=

5

4

R                  
因此小球的釋放點(diǎn)離A點(diǎn)的高度H滿足的條件：

5

4

R≤H≤5R．
答：
（1）小球經(jīng)過圓管的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓管的作用力的大小為

1

2

mg，方向豎直向下．
（2）欲使小球能通過圓管最高點(diǎn)C點(diǎn)后落到墊子上，小球的釋放點(diǎn)離A點(diǎn)的高度H滿足的條件是：

5

4

R≤H≤5R．

點(diǎn)評(píng)：本題首先要明確物體的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．