Question

14．如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道半徑為R，A、B為圓軌道內(nèi)表面的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，在A、B兩位置裝有壓力傳感器，可以測(cè)量小球經(jīng)過(guò)該位置時(shí)對(duì)軌道的壓力F．一質(zhì)量為m的小球置于軌道最低點(diǎn)A處，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v，使其沿圓軌道運(yùn)動(dòng)；改變小球的初速度v的大小，測(cè)量小球在A、B位置對(duì)軌道壓力F_A、F_B（小球第1次經(jīng)過(guò)A、B時(shí)）的大小，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)描繪出相應(yīng)的F-v²圖象為相互平行的直線，如圖所示．重力加速度為g，求：

（1）圖象中v₀；
（2）圖象中F₀；
（3）若圓軌道不光滑，假設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的各處時(shí)摩擦力大小與速度無(wú)關(guān)，圖中的F₀=7mg，改變v的大小，當(dāng)小球某次經(jīng)過(guò)A時(shí)F=9mg，求小球到達(dá)B處的速度為多大．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)v₀，F(xiàn)₀，對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，對(duì)A到B的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（2）對(duì)小球在A點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律即可求解；
（3）通過(guò)牛頓第二定律求得在A、B的速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求得摩擦力做的功；再應(yīng)用牛頓第二定律求得在A處的速度，然后利用動(dòng)能定理即可求得在B處的速度．

解答 解：（1）當(dāng)v=v₀時(shí)，小球剛好可以到達(dá)B點(diǎn)，且在B點(diǎn)的合外力為重力，那么，對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
對(duì)小球從A到B應(yīng)用動(dòng)能定理得：$-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{5gR}$；
（2）對(duì)小球在A點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，有：${F}_{0}=mg+\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}=6mg$；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的各處時(shí)摩擦力大小與速度無(wú)關(guān)，那么摩擦力只和位置有關(guān)，所以，經(jīng)過(guò)相同位置，摩擦力做功相同；
對(duì)小球在A點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，當(dāng)F₀=7mg時(shí)有$6mg=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$；
且小球剛好到達(dá)B點(diǎn)，對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
對(duì)小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{5}{2}mgR$，所以，${W}_{f}=-\frac{1}{2}mgR$；
當(dāng)F=9mg時(shí)，在A點(diǎn)有：$9mg-mg=8mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
那么，由動(dòng)能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，所以，$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=\frac{3}{2}mgR$，所以，${v}_{B}′=\sqrt{3gR}$；
答：（1）圖象中v₀為$\sqrt{5gR}$；
（2）圖象中F₀為6mg；
（3）若圓軌道不光滑，假設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的各處時(shí)摩擦力大小與速度無(wú)關(guān)，圖中的F₀=7mg，改變v的大小，當(dāng)小球某次經(jīng)過(guò)A時(shí)F=9mg，小球到達(dá)B處的速度為$\sqrt{3gR}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．