Question

在電場(chǎng)方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一帶電小球從A點(diǎn)豎直向上拋出，其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上A、B兩點(diǎn)在同一水平線上，M為軌跡的最高點(diǎn)．小球拋出時(shí)的動(dòng)能為8.0J，在M點(diǎn)的動(dòng)能為6.0J，不計(jì)空氣的阻力．求：
（1）小球水平位移x₁與x₂的比值；
（2）小球落到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_kB．
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中最小動(dòng)能E_kmin？

Answer 1

分析：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．小球在水平方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式位移公式，運(yùn)用比例法求出x₁與x₂之比；
（2）分別研究A到M和A到B水平方向的分運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式速度位移關(guān)系式求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，即可得到動(dòng)能E_KB；
（3）根據(jù)速度的合成得到動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，得到小球動(dòng)能的最小值．

解答：解：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性得知，從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．
小球在水平方向上做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，則
   x1=

1

2

at2
  x2=

1

2

a(2t)2-

1

2

at2=

3

2

at2
 所以

x1

x2

=

1

3

（2）小球從A到M，水平方向上電場(chǎng)力做功W_電=Eqx₁=6J，
則從A到B水平方向上電場(chǎng)力做功W_電′=Eq（x₁+x₂）=4W_電=24J
則由能量守恒可知，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_kB=E_k0+4W_電=8+24J=32J  
（3）由題，

1

2

mvA2=8J，
得v_A=

4

m

又豎直方向上，有v_A=gt=

G

m

t，
所以

4

m

=

G

m

t，①

1

2

mvM2=6J，
得v_M=

12

m

在水平方向上，有 v_M=at=

F

m

t，
則得

12

m

=

F

m

t，②
所以②：①得  

F

G

=

3

2

                
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)動(dòng)能為E_k，則
Ek=

1

2

m(v0-gt)2+

1

2

m(at)2
化簡(jiǎn)為 （g²+a²）t²-2v₀gt+v02-

2Ek

m

=0
 當(dāng)△=0時(shí)有極值，
則4v02g²-4（g²+a²）（v02-

2Ek

m

）=0
得E_k=

a2

g2+a2

E_k0
由

F

G

=

3

2

得a=

3

2

g
即E_kmin=

3

7

E_k0=

3

7

×8J=

24

7

J．
答：（1）小球水平位移x₁與x₂的比值為1：3．
（2）小球落到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_kB=32J．
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中最小動(dòng)能E_kmin為

24

7

J．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法處理，抓住豎直方向上運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得到時(shí)間關(guān)系是關(guān)鍵．對(duì)于第3題，也可以求出重力加速度與電場(chǎng)力加速度形成合加速度，當(dāng)速度方向與合加速度方向垂直時(shí)速度最小，動(dòng)能最小，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求解．