Question

13．如圖，半徑為R的鉛球球心為O，在與球面相切處挖去半徑為$\frac{R}{2}$的一個(gè)小球，球心在O₁，余下月牙形部分質(zhì)量為M，在OO₁連線外放另一質(zhì)量為m的小球，球心為O₂，OO₂距離為d，試求M、m間的萬(wàn)有引力．

Answer 1

分析 用沒(méi)挖之前鉛球?qū)π∏騧的引力，減去被挖部分對(duì)小球m的引力，就是剩余部分對(duì)小球m的引力．

解答 解：沒(méi)有挖去半徑為$\frac{R}{2}$的小球之前，鉛球的半徑為挖去小球半徑的2倍，故體積為8倍，質(zhì)量為8倍；余下月牙形部分質(zhì)量為M，故挖去小球質(zhì)量為$\frac{M}{7}$；
在沒(méi)有挖去前，大球?qū)�m的萬(wàn)有引力為：F=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{f5br5v5^{2}}$，
該力等效于挖去的直徑為R的小球?qū)�m的力和剩余月牙形部分對(duì)m的力這兩個(gè)力的合力．
則設(shè)月牙形部分對(duì)m的引力為F_x，有：
F_x+G$\frac{\frac{M}{7}m}{（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{p55hpn5^{2}}$
解得：F_x=G$\frac{（M+\frac{M}{7}）m}{rd55zbd^{2}}$-G$\frac{\frac{M}{7}m}{（d-\frac{R}{2}）^{2}}$=$\frac{8GMm}{7lxnv5h5^{2}}$-$\frac{GMm}{7{（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$；
答：此兩個(gè)球體之間的萬(wàn)有引力為$\frac{8GMm}{7vfd5fxh^{2}}$-$\frac{GMm}{7{（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要采用割補(bǔ)法的思想，根據(jù)整體球在與小球m的引力等于割掉的小球與小球m的引力和剩余空腔部分與小球m的引力的矢量和，掌握割補(bǔ)思想是解決本題的主要入手點(diǎn)，掌握萬(wàn)有引力定律公式是基礎(chǔ)．