Question

15．如圖所示，用一塊長(zhǎng)L₁=1.0m的木板在墻和桌面間架設(shè)斜面，桌面高H=0.8m，長(zhǎng)L₂=2.1m．斜面與水平桌面的傾角θ可在0～60°間調(diào)節(jié)后固定．將質(zhì)量m=0.2kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂，忽略物塊在斜面與桌面交接處的能量損失．（重力加速度取g=10m/s²；最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）
（1）求θ角增大到多少時(shí)，物塊能從斜面開始下滑；（用正切值表示）
（2）當(dāng)θ增大到37°時(shí)，物塊恰能停在桌面邊緣，求物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂
（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（3）繼續(xù)增大θ角，小物塊將從桌子的右邊緣水平拋出，求小物塊從桌子的右邊緣水平拋出時(shí)的最大速度，及小物塊落地點(diǎn)與桌子的右邊緣最大距離x_m．（結(jié)果可以用根式表達(dá)）

Answer 1

分析 （1）要使物體下滑重力的分力應(yīng)大于摩擦力，列出不等式即可求解夾角的正切值；
（2）對(duì)全過程由動(dòng)能定理進(jìn)行分析，則可求得動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）物體離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平距離的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求得最大距離．

解答 解：（1）為使小物塊下滑，則有：
  mgsinθ≥μ₁mgcosθ；
故θ應(yīng)滿足的條件為：tanθ≥0.1，
則θ角增大到tanθ=0.1時(shí)，物塊能從斜面開始下滑．
（2）在全過程中，克服摩擦力做功 W_f=μ₁mgL₁cosθ+μ₂（L₂-L₁cosθ）
對(duì)全過程，由動(dòng)能定理得：mgL₁sinθ-W_f=0
代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.4；
（3）由動(dòng)能定理得：
  mgL₁sinθ-μ₁mgL₁cosθ-μ₂（L₂-L₁cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入得：10sinθ-cosθ-0.4（2.1-cosθ）=$\frac{1}{2}{v}_{m}^{2}$
即10sinθ-0.6cosθ-0.84=$\frac{1}{2}{v}_{m}^{2}$
解得：v_m=$\sqrt{2（\sqrt{109}-8.1）}$m/s；
對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：
 H=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=0.4s；
水平方向x₁=v_mt
解得：x_m=$\frac{2}{5}$$\sqrt{2（\sqrt{109}-8.1）}$m；
答：
（1）θ角增大到tanθ≥0.05；，物塊能從斜面開始下滑．
（2）當(dāng)θ角增大到37°時(shí)，物塊恰能停在桌面邊緣，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂為0.8；
（3）繼續(xù)增大θ角，發(fā)現(xiàn)θ=53°時(shí)物塊落地點(diǎn)與墻面的距離最大，此最大距離x為1.9m

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，要注意正確分析過程及受力，注意摩擦力的功應(yīng)分兩段進(jìn)行求解；同時(shí)掌握平拋運(yùn)動(dòng)的解決方法．