Question

如圖（a）所示，兩個平行的金屬板間接有圖（b）所示的交變電壓，板長為L=0.4m，板間距d=0.2m．在金屬板的右側(cè)即磁場的理想左邊界，磁場區(qū)域足夠大．磁感應(yīng)強度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一帶電粒子（不計重力）以v=10⁵m/s速度沿著極板中線從左端射人極板間．已知粒子的荷質(zhì)比為q/m=10⁸ C/kg，粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)，可以認為電場是恒定的．
（1）若粒子在t=0時刻射入，求粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離；
（2）證明任意時刻射人電場的粒子，在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等；
（3）求粒子射出電場時的最大速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）帶電粒子在t=0時刻進入，電場強度為零，粒子將以v的速度垂直磁場左邊界射入磁場中．由牛頓定律和幾何關(guān)系求解．
（2）粒子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，由牛頓定律和幾何關(guān)系證明射人點與出射點間的距離恒定．
（3）當(dāng)粒子從極板邊緣離開電場時，側(cè)移量最大，電場力做功最多，粒子的速度最大．根據(jù)側(cè)移量，由牛頓定律和運動學(xué)公式求出此時電壓，由動能定理求出最大速度．
解答：解：（1）帶電粒子在t=0時刻進入，由題可知，粒子通過電場區(qū)域時間極短，因此粒子從進入電場到離開電場，板間電場強度始終為零，則粒子將以v的速度垂直磁場左邊界射入磁場中．
    由牛頓第二定律，得
      qvB=m
     得r==0.2m
故粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離S=2r=0.4m．
（2）設(shè)某時刻進入磁場的粒子速度為v，方向與水平方向成θ角，如右圖
     則v=
   粒子在磁場中運動時的軌跡半徑為
      r′==
   粒子射人點到出射點間的距離S′=2r′cosθ=2
      由（1）知S′=2r=0.4m
   故任意時刻射人電場的粒子，在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等．
（3）設(shè)粒子進入電場時刻，板間的電壓為U，且粒子可以射出電場進入磁場．則
         y=，t=
   當(dāng)側(cè)移量y=時，電場力對粒子做功最多，
       得到U=
       代入解得U=25V
  由動能定理得
    q=-
   解得  v_m=
答：（1）粒子在t=0時刻射入，在磁場中運動的射人點到出射點間的距離為0.4m；
    （2）略
    （3）粒子射出電場時的最大速度為．
點評：本題考查帶電在電磁場中的運動，綜合考查了牛頓定律、動能定理、受力分析等方面的知識和規(guī)律．對考生的分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力要求較高．