Question

14．一小船渡河，河寬d=180m，水流速度v₁=2.5m/s
（1）若船在靜水中的速度為v₂=5m/s，求：
①欲使船在最短的時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
（2）若船在靜水中的速度v₂=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時間？位移是多少？

Answer 1

分析 當(dāng)靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短；若船速大于水流速度時，當(dāng)合速度與河岸垂直時，渡河航程最短，若船速小于水流速度時，合速度垂直船速，對應(yīng)的船航程最短，結(jié)合運動學(xué)公式與平行四邊形定則，即可求解．

解答 解：（1）將船實際的速度（合速度）分解為垂直河岸方向和平行河岸方向的兩個分速度，垂直分速度影響渡河的時間，而平行分速度只影響平行河岸方向的位移．
①欲使船在最短時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向．
t=$\fractxbbrdx{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$s=36s
那么沿著水流方向的位移為x=v₁t=2.5×36=90m/s；
則使船在最短的時間內(nèi)渡河的位移為s=$\sqrt{18{0}^{2}+9{0}^{2}}$=90$\sqrt{5}$m
②欲使船渡河航程最短，應(yīng)垂直河岸渡河，船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一角度α．
垂直河岸過河這就要求v_水平=0，所以船頭應(yīng)向上游偏轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，有v₂sinα=v₁
得α=30°．
所以當(dāng)船頭向上游偏30°時航程最短，s′=d=180m．
（2）因v_船＜v_水，若要使船航程最短，船頭應(yīng)指向上游與河岸成θ角，
如下圖所示，

cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{1.5}{2.5}$=0.6，則θ=53°，
最短航程為x_min=$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}}$=$\frac{2.5}{1.5}$×180m=300m
所需要的時間為t′=$\frac{{x}_{min}}{{v}_{1}sin53°}$=$\frac{300}{2.5×0.8}$=150s；
答：
（1）①欲使船在最短的時間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝應(yīng)朝垂直河岸方向，用36s，位移是90$\sqrt{5}$m；
②欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝上游與河岸成30°，位移，180m；
（2）要使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)偏向上游53度，所用時間為150s，位移是300m．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道合運動與分運動具有等時性，當(dāng)靜水速與河岸垂直，渡河時間最短；當(dāng)合速度與河岸垂直，渡河航程最短．小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，使用平行四邊形法則求合速度．