Question

10．如圖所示，粗糙斜面的傾角θ=37°，邊長L₁=0.5m的正方形區(qū)域內(nèi)存在著垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場．一個(gè)匝數(shù)n=10匝的剛性正方形線框，邊長為L₂=0.6m，通過松弛的柔軟導(dǎo)線（對線框的作用力近似為零）與電阻R相連，R=1.25Ω．正方形磁場區(qū)域的一半恰好在正方形線框內(nèi)部，已知線框質(zhì)量m=2kg，總電阻R₀=1.25Ω，與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．從t=0時(shí)起，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度按B=B₀-2t（T）的規(guī)律變化，線框能保持一段時(shí)間靜止在斜面上．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）線框不動時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢E；
（2）B₀的取值范圍；
（3）線框保持不動的時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算回路中感應(yīng)電動勢的大��；
（2）計(jì)算出回路中的電流強(qiáng)度，以線框?yàn)檠芯繉ο螅��?dāng)摩擦力方向向下時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大、如果開始摩擦力方向向上，則B₀最小，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件求解B₀的取值范圍；
（3）分析B的最大值和最小值，求出最長的作用時(shí)間，根據(jù)焦耳定律求解電阻R上產(chǎn)生的熱量Q的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：
$E=n\frac{△∅}{△t}=n•\frac{△B}{△t}•\frac{1}{2}{L}_{1}^{2}=10×2×\frac{1}{2}×0．{5}^{2}V=2.5V$，
所以回路中感應(yīng)電動勢的大小為2.5V；
（2）回路中的電流強(qiáng)度為：I=$\frac{E}{R+{R}_{0}}=\frac{2.5}{1.25+1.25}A=1A$，
根據(jù)楞次定律可得，磁感應(yīng)強(qiáng)度減小，俯視電流方向?yàn)轫槙r(shí)針，根據(jù)左手定則可得安培力方向向上；
以線框?yàn)檠芯繉ο�，�?dāng)摩擦力方向向下時(shí)，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：nB₀IL₁=mgsinθ+μmgcosθ，
代入數(shù)據(jù)解得：B₀=4T；
如果開始摩擦力方向向上，則B₀最小，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件可得：nB₀IL₁=mgsinθ-μmgcosθ，
代入數(shù)據(jù)解得：B₀=0.8T；
所以B₀的取值范圍為0.8T＜B₀≤4T；
（3）當(dāng)B₀=4T，磁感應(yīng)強(qiáng)度從4T減小到0.8T的過程中經(jīng)過的時(shí)間為t，則：0.8=4-2t，
解得：t=1.6s，
此過程中線框一直保持靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)焦耳定律可得：Q=I²Rt=1²×1.25×1.6J=2J．
答：（1）線框不動時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢為2.5V；
（2）B₀的取值范圍為0.8T＜B₀≤4T；
（3）線框保持不動的時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q的最大值是2J．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力；另一條是能量，分析能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵；注意：本題中計(jì)算安培力時(shí)，應(yīng)該用磁場中的有效長度，不能代入線圈的寬度計(jì)算！