Question

15．圖示左側球碰撞的實驗裝置中，n個完全彈性小球都用長為L=10m的細線懸掛在同一高度的一條直線上，相鄰兩球的間隙很�。�這些小球中只有球n帶有-q電荷，其質量為m．小球1到小球n間的質量關系為m₁：m₂：m₃：…：m_n=1：（$\frac{1}{3}$）：（$\frac{1}{3}$）²：…：（$\frac{1}{3}$）^n-1．碰撞裝置右側傾角θ=37⁰的絕緣粗糙斜面上有平行且相距D=3m的NQ與MP區(qū)間，其間有平行斜面向上、場強E=$\frac{8mg}{5q}$的勻強電場．一長為S=2m的絕緣輕桿連接兩個完全相同、質量均為m=0.5kg的小球A和B，A球不帶電，B球帶電量+q．開始時輕桿的中垂線與垂直線MP重合且AB球靜止在斜面上恰好不往上滑．設A、B球與斜面間的動摩擦因數均為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．
（1）求小球與斜面間的動摩擦因數μ；
（2）拉起1球至某高度后放手，讓其與2球碰撞，直到n球被碰（n-1球與n球碰撞時無電荷轉移）彈起并偏轉θ角后繩子被釘子J攔住而恰好繩斷，接著n球立即與A球正碰并粘合在一起，整體沿斜面向上運動至B球能夠到達虛線NQ的位置．若OJ距離為9m，求球n與球A碰前瞬間速度v的最小值及繩子的最大拉力Tm
（3）若球1被拉起時與豎直方向的夾角也為θ，則要達到（2）中所述的要求，n的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）對AB系統(tǒng)，由平衡條件可以求出動摩擦因數；
（2）應用動量守恒定律、動能定理與牛頓第二定律可以求出速度與拉力；
（3）小球n可在豎直面內做圓周運動并能通過其正上方的最高點，根據牛頓第二定律得到最高點的最小速度；然后根據1、2兩球的碰撞過程得到第n個球的速度的通項，再對第n球在碰后至最高點的過程運用機械能守恒定律列式，最后聯立求解即可．

解答 解：（1）由AB受力平衡，由平衡條件得：
2mgsinθ+2μmgcosθ=qE，
代入數據解得：μ=0.25；
（2）據牛頓定律知繩斷的條件為：${T_m}-mgcosθ=m\frac{v^2}{L-OJ}$…①
設n球與A球碰后速度大小為v₁，碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向上為正方向，由動量守恒定律得：mv=3mv₁…②
碰后至B到達虛線NQ，據動能定理有：
$0-\frac{3}{2}mv_1^2=（{qE-3mgsinθ-3μmgcosθ}）（{D-\frac{S}{2}}）-qE\frac{S}{2}$…③
聯立②③并代入數據再代入①，可解得：v=8$\sqrt{3}$m/s，T_m=100N；
（3）球1擺動過程、球n碰后至與球A碰前均有機械能守恒：
$\frac{1}{2}{3^{n-1}}mv_1^2={3^{n-1}}mgL（{1-cosθ}）$，
解得：${v_1}=2\sqrt{10}$m/s，
$\frac{1}{2}mv_n^2=\frac{1}{2}mv_{\;}^2+mgL（{1-cosθ}）$，
解得：${v_n}=\sqrt{{v^2}+2gL（1-cosθ）}≥2\sqrt{58}$，
球i跟球i+1的碰撞滿足機械能守恒跟動量守恒：m_iv_i=m_iv_i1+m_i+1v_i+1
$\frac{1}{2}{m_i}v_i^2=\frac{1}{2}{m_i}v_{i1}^2+\frac{1}{2}{m_{i+1}}v_{i+1}^2$
可得：${v_{i+1}}=\frac{3}{2}{v_i}$，
即有：${v_n}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{v_1}$…④
代入數據可知n的最小值為：4；
答：（1）小球與斜面間的動摩擦因數μ為0.25；
（2）球n與球A碰前瞬間速度v的最小值為8$\sqrt{3}$m/s，繩子的最大拉力Tm為100N；
（3）若球1被拉起時與豎直方向的夾角也為θ，則要達到（2）中所述的要求，n的最小值為4．

點評 本題關鍵是明確各個球的運動規(guī)律，明確彈性碰撞遵循動量守恒定律和機械能守恒定律，得到第n個球的速度的通項是難點．