Question

5．為了方便研究物體與地球間的萬(wàn)有引力問(wèn)題，通常將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體．已知地球的質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，不考慮空氣阻力的影響．
（1）求北極點(diǎn)的重力加速度的大�。�
（2）若“天宮二號(hào)”繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道可視為圓周，其軌道距地面的高度為h，求“天宮二號(hào)”繞地球運(yùn)行的周期和速率；
（3）若已知地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg，地球半徑R=6400km，其自轉(zhuǎn)周期T=24h，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．在赤道處地面有一質(zhì)量為m的物體A，用W₀表示物體A在赤道處地面上所受的重力，F(xiàn)₀表示其在赤道處地面上所受的萬(wàn)有引力．請(qǐng)求出$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$的值（結(jié)果保留1位有效數(shù)字），并以此為依據(jù)說(shuō)明在處理萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系時(shí)，為什么經(jīng)�？梢院雎缘厍蜃赞D(zhuǎn)的影響．

Answer 1

分析 （1）物體靜止在北極點(diǎn)時(shí)所受地面的支持力等于萬(wàn)有引力，由此列式求得北極點(diǎn)的重力加速度的大�。�
（2）“天宮二號(hào)”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列式求得“天宮二號(hào)”繞地球運(yùn)行的周期和速率．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律研究物體在赤道上隨地球運(yùn)動(dòng)的情況，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)量為m₀的物體靜止在北極點(diǎn)時(shí)所受地面的支持力為N₀，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和共點(diǎn)力平衡條件則有：
G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=N₀
即質(zhì)量為m₀的物體在北極點(diǎn)時(shí)所受的重力為：F=N₀=G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$
設(shè)北極點(diǎn)的重力加速度為g₀，則有：m₀g₀=G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$
解得：g₀=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（2）設(shè)“天宮二號(hào)”的質(zhì)量為m₁，其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
G$\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}$=m₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$（R+h）
解得：T₁=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
運(yùn)行速率為：v=$\frac{2π（R+h）}{{T}_{1}}$=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（3）物體A在赤道處地面上所受的萬(wàn)有引力 F₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
對(duì)于物體A在赤道處地面上隨地球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，設(shè)其所受地面的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律有：F₀-N=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
物體A此時(shí)所受重力的大小為：W₀=N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
所以$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$=$\frac{m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R}{G\frac{Mm}{{R}^{2}}}$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$=3×10^-3．
這一計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，由于地球自轉(zhuǎn)對(duì)地球表赤道面上靜止的物體所受重力與所受地球引力大小差別的影響很小，所以通常情況下可以忽略地球自轉(zhuǎn)造成的地球引力與重力大小的區(qū)別．
答：（1）北極點(diǎn)的重力加速度的大小是$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）“天宮二號(hào)”繞地球運(yùn)行的周期是2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$．速率是$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（3）$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$的值是3×10^-3．地球自轉(zhuǎn)對(duì)地球表赤道面上靜止的物體所受重力與所受地球引力大小差別的影響很小，所以通常情況下可以忽略地球自轉(zhuǎn)造成的地球引力與重力大小的區(qū)別．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要知道在地球的兩極：萬(wàn)有引力等于重力，在赤道：萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．