Question

3．如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，其寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B、方向垂直紙面向里．一個(gè)帶正電的粒子（質(zhì)量m，電量q，不計(jì)重力）從電場(chǎng)左邊緣a點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到了a點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程．（圖中虛線為電場(chǎng)與磁場(chǎng)、相反方向磁場(chǎng)間的分界面，并不表示有什么障礙物）．
（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d為多大；
（2）帶電粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比；
（3）帶電粒子從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到a點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子離開電場(chǎng)或進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，從而確定帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由幾何關(guān)系就能求出中間磁場(chǎng)的寬度．
（2）由運(yùn)動(dòng)的特殊性，帶電粒子三次在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，粒子在中間場(chǎng)區(qū)偏轉(zhuǎn)60°，在右側(cè)場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)角度為300°，于是求出帶電粒子在兩場(chǎng)區(qū)的時(shí)間之比．
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律以難求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從第二問已經(jīng)求出帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度，根據(jù)周期公式，能求出粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間三者之各就是題目中的總時(shí)間．

解答 解：畫出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡
（1）粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)有    EqL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律有     Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立得到：r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$
由于兩磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，那么在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)
動(dòng)半徑相同，如圖所示，三段圓弧的圓心組成的三角形是等邊三角形，
其邊長(zhǎng)為2R．所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為：d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$
（2）由幾何關(guān)系可以得到帶電粒子在兩磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)偏轉(zhuǎn)的角度分別為
α=60°    β=300°
在兩場(chǎng)區(qū)的時(shí)間之比為$\frac{t}{t′}$=$\frac{2α}{β}$=$\frac{2}{5}$
（3）在電場(chǎng)中時(shí)間 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{2mv}{qE}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=2×$\frac{T}{6}$=$\frac{2πm}{3Bq}$
在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=$\frac{5}{6}T$=$\frac{5πm}{3Bq}$
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$+$\frac{7πm}{3Bq}$
答：（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d為$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$．
（2）帶電粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為$\frac{1}{5}$．
（3）帶電粒子從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到a點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間為2$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$+$\frac{7πm}{3Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)有二：①是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期性的重復(fù)性，由于兩磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，所以帶電粒子在兩場(chǎng)區(qū)的運(yùn)動(dòng)半徑相等，從而使粒子的軌跡具有重復(fù)性．②是粒子在兩磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)三次最后又返回電場(chǎng)時(shí)，三次偏轉(zhuǎn)的圓心恰構(gòu)成一個(gè)三角形，這也是解答本題的關(guān)鍵．