Question

如圖所示，平行金屬板右側(cè)有一寬度為a的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里。在磁場(chǎng)I的右側(cè)存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向外。現(xiàn)在正極板處有一帶正電粒子（粒子重力不計(jì)），質(zhì)量為m、電荷量為q，由靜止開(kāi)始經(jīng)電場(chǎng)加速后，經(jīng)右側(cè)金屬板狹縫沿x軸方向進(jìn)入磁場(chǎng)

（1）當(dāng)加速電壓U＝U0時(shí)，帶電粒子恰好可以到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的交界處，求加速電壓U0；

（2）當(dāng)加速電壓U＝2U0時(shí)，帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)x軸，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（可用反三角函數(shù)表示）；

（3）當(dāng)加速電壓時(shí)，帶電粒子可以沿進(jìn)入磁場(chǎng)前的路徑返回，求k值。

Answer 1

解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)半徑為a時(shí)，恰好可以到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的交界處，則

（1分）

（1分）

得（2分）

上式表明，軌道半徑的平方和加速電壓成正比。

（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，C、C＇為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。當(dāng)U＝2U0時(shí)，設(shè)帶電粒子的軌道半徑為R，由（1）問(wèn)的比例關(guān)系可知

（1分）

又sin∠

解得∠（2分）

又

得（2分）

cos∠

解得∠（2分）

帶電粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角之和為

∠（1分）

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為

所以帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

（2分）

（3）若要帶電粒子返回電場(chǎng)，由對(duì)稱(chēng)可知其軌跡如圖所示。這時(shí)C＇點(diǎn)在x軸上。由幾何知識(shí)可得粒子運(yùn)動(dòng)半徑r為

（2分）

求得（1分）

由第（1）問(wèn)的比例關(guān)系得

因此（2分）