Question

3．如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的由半圓形ABC（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多）和直線CD組成的軌道固定在水平桌面上，已知ABC部分的半徑R=1.0m，CD段長(zhǎng)L=1.5m．彈射裝置將一個(gè)質(zhì)量為0.8kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一水平初速度從A點(diǎn)彈入軌道，小球從D點(diǎn)離開軌道隨即水平拋出后恰落入水平面上的小孔P內(nèi)，已知小球剛落進(jìn)小孔P時(shí)，重力的功率為32W，小球從A運(yùn)動(dòng)到P的整個(gè)過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為1.328s，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，π取值3.14．求：
（1）D與P間的水平間距；
（2）半圓形彎管 ABC對(duì)小球作用力的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)瞬時(shí)功率的表達(dá)式求出小球在到達(dá)P時(shí)豎直方向的分速度，結(jié)合自由落體運(yùn)動(dòng)求出D到P的時(shí)間；根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系，以及運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間求出速度，最后求出D到P的水平距離；
（2）半圓形彎管 ABC對(duì)小球作用力與重力的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）設(shè)小球進(jìn)入P時(shí)，豎直方向的分速度為v_y，則：
${v}_{y}=\frac{P}{mg}=\frac{32}{0.8×10}=4$m/s
設(shè)小球從D到P的時(shí)間為t₃，則：
${t}_{3}=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}=0.4$s
小球從A到C的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{πR}{{v}_{0}}$
從C到D的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$
又：t₁+t₂+t₃=1.328s
聯(lián)立得：v₀=5m/s
DP之間的水平距離：x=v₀t₃=5×0.4=2m
（2）半圓形彎管 ABC對(duì)小球作用力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$\sqrt{{F}^{2}-m{g}^{2}}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F=$\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{m{v}^{2}}{R}）^{2}}$=$\sqrt{（0.8×10）^{2}+（\frac{0.8×{5}^{2}}{1.0}）^{2}}=\sqrt{464}≈21.5$N
答：（1）D與P間的水平間距是0.2m；
（2）半圓形彎管 ABC對(duì)小球作用力的大小是21.5N．

點(diǎn)評(píng) 本題是勻速圓周運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的組合，記住勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、加速度等等公式，就可以輕松解答．