Question

【題目】如圖所示(俯視)，MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌。兩導(dǎo)軌間距為L＝0.2 m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B1＝5.0 T。導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R1＝0.40 Ω，阻值為R2＝0.10 Ω的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸。兩導(dǎo)軌右端通過(guò)金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極板相連。電容器C緊靠準(zhǔn)直裝置b，b緊挨著帶小孔a(只能容一個(gè)粒子通過(guò))的固定絕緣彈性圓筒，圓筒壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2，O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑r＝0.40 m。

(1)用一個(gè)方向平行于MN水平向左且功率恒定為P＝80 W的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)。已知桿受到的摩擦阻力大小恒為Ff＝6 N，求：當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)桿的速度大小及電阻R1消耗的電功率？

(2)當(dāng)金屬桿處于(1)問(wèn)中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器C內(nèi)緊靠極板的D處的一個(gè)帶正電的粒子經(jīng)C加速、b準(zhǔn)直后從a孔垂直磁場(chǎng)B2并正對(duì)著圓心O進(jìn)入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次恰好又從小孔a射出圓筒。已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電荷量和能量都不損失，不計(jì)粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的比荷q/m＝5×107 C/kg，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B2多大(結(jié)果用含有正切形式的三角函數(shù)式表達(dá))?

Answer 1

【答案】(1)5 m/s　40 W　(2) 或

【解析】（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v，回路中的感應(yīng)電流為I，桿受到的安培力大小為FA，電阻R1消耗的電功率為P1，則

（1）（2）（3）

聯(lián)立（2）(3)得：（4）

將已知數(shù)據(jù)代入(4)式解得：……（4分）

以及：……（1分）

（2）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為V、在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R1并聯(lián)，

據(jù)歐姆定律得，

據(jù)動(dòng)能定理有，（5）

帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（6）

聯(lián)立（5）（6）得：（7）……（4分）

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無(wú)電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱(chēng)性，由5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則由幾何關(guān)系可得：

（8）……（1分）

有兩種情形符合題意（如圖所示）：

（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

聯(lián)立（7）（8）并代入值得：（9）

將數(shù)據(jù)代入(9)式得：（10）……（4分）

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

聯(lián)立（7）（8）并代入值得：（11）

將數(shù)據(jù)代入(11)式得：（12）……（4分）