Question

位于豎直平面內(nèi)的矩形平面導(dǎo)線框。長(zhǎng)為，是水平的，長(zhǎng)為，線框的質(zhì)量為，電阻為.。其下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，該區(qū)域的上、下邊界和均與平行，兩邊界間的距離為，，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，方向與線框平面垂直，如圖預(yù)16-4所示。令線框的邊從離磁場(chǎng)區(qū)域上邊界的距離為處自由下落，已知在線框的邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，邊到達(dá)邊界之前的某一時(shí)刻線框的速度已達(dá)到這一階段的最大值。問從線框開始下落到邊剛剛到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的過程中，磁場(chǎng)作用于線框的安培力做的總功為多少？

Answer 1

設(shè)線框的邊剛到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域上邊界時(shí)的速度為，則有

                                                 （1）

邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，按題意線框雖然受安培力阻力作用，但依然加速下落．設(shè)邊下落到離的距離為時(shí)，速度達(dá)到最大值，以表示這個(gè)最大速度，這時(shí)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

           

線框中的電流

               

作用于線框的安培力為

                                                   （2）

速度達(dá)到最大的條件是安培力

               

由此得

                                                          （3）

在邊向下運(yùn)動(dòng)距離的過程中，重力做功，安培力做功，由動(dòng)能定理得

           

將（1）、（3）式代入得安培力做的功

                                        （4）

線框速度達(dá)到后，做勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)邊勻速向下運(yùn)動(dòng)的距離為時(shí)，邊到達(dá)磁場(chǎng)的邊界，整個(gè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)．在線框邊向下移動(dòng)的過程中，重力做功，安培力做功，但線框速度未變化，由動(dòng)能定理

          

                             （5）

整個(gè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)后，直至邊到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)的下邊界，作用于整個(gè)線框的安培力為零，安培力做的功也為零，線框只在重力作用下做加速運(yùn)動(dòng)。

所以，整個(gè)過程中安培力做的總功

                            （6）

〔編注：此題命題有不嚴(yán)密之處。由微分方程

的解

              

可知，只有當(dāng)時(shí)，才能趨向極限速度（即線框下落無窮長(zhǎng)的距離，速度才能趨向）。原題說邊未進(jìn)入磁場(chǎng)即達(dá)到最大速度是不確切的。〕