Question

14．如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長(zhǎng)L=1m，B點(diǎn)距C 點(diǎn)的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，$sin37°=\frac{3}{5}$，$cos37°=\frac{4}{5}$）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度${ω_2}=\sqrt{\frac{50}{3}}rad/s$，求細(xì)線AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過(guò)計(jì)算在坐標(biāo)圖中（圖2）畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．（計(jì)算過(guò)程可在草稿紙上完成）

Answer 1

分析 （1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₁的大小．
（2）ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω₁時(shí)，細(xì)線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω₁時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答 解（1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
$mgtan37°=mω_1^2lsin37°$
解得：${ω_1}=\sqrt{\frac{g}{lcos37°}}=\sqrt{\frac{50}{4}}rad/s=\frac{5}{2}\sqrt{2}rad/s$
（2）${ω_2}=\sqrt{\frac{50}{3}}rad/s$＞${ω_1}=\sqrt{\frac{50}{4}}rad/s$時(shí)，細(xì)線AB應(yīng)松弛，根據(jù)牛頓第二定律得：
$mgtanθ'=mω_2^2lsinθ'$
解得：$cosθ'=\frac{3}{5}$θ'=53°此時(shí)細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零．
（3）當(dāng)$ω≤{ω_1}=\frac{5}{2}\sqrt{2}rad/s$時(shí)，細(xì)線AB水平，細(xì)線AC上張力的豎直分量等于小球的重力，有：
Tcosθ=mg
得：$T=\frac{mg}{cosθ}=12.5N$
當(dāng)ω₁≤ω≤ω₂時(shí)，細(xì)線AB松弛，細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，有：
Tsinθ=mω²lsinθ
T=mω²l
當(dāng)ω＞ω₂時(shí)，細(xì)線AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，
Tsinθ=mω²lsinθ
T=mω²l
綜上所述 $ω≤{ω_1}=\frac{5}{2}\sqrt{2}rad/s$時(shí)，T=12.5N不變
ω＞ω₁時(shí)，T=mω²l=ω²（N）
T-ω²關(guān)系圖象如圖所示

答：（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，角速度ω₁的大小是$\frac{5}{2}\sqrt{2}rad/s$；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度${ω_2}=\sqrt{\frac{50}{3}}rad/s$，細(xì)線AC與豎直方向的夾角是53°；
（3）圖象如圖

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，確定小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．