Question

3．在同一平面內(nèi)有一直徑為l的圓形磁場區(qū)域和一邊長為l的正方形電場區(qū)域cdef，相切于正方形電場區(qū)域cf邊的中點(diǎn)g，磁場和電場方向如圖所示，O點(diǎn)為圓形磁場的圓心．質(zhì)量為m，電荷量為e的電子從a點(diǎn)沿半徑方向以速度v₀射入圓形磁場區(qū)域，Oa和Ob之間夾角為30°，Ob與cf平行．電子恰好從g點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，并從e點(diǎn)離開電場．求：
（1）圓形磁場區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電場區(qū)域內(nèi)的電場強(qiáng)度E的大��；
（2）電子從e點(diǎn)離開電場區(qū)域時(shí)的速度大小及方向；
（3）電子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到e點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場強(qiáng)度．
（2）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出電子離開電場時(shí)的速度．
（3）求出電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

根據(jù)圖示，由幾何知識(shí)可得：∠bOg=90°，
則電子垂直于cf進(jìn)入電場，
由幾何知識(shí)可得：圓心角θ=60°，
電子在磁場中的軌道半徑：rsin$\frac{θ}{2}$=$\frac{l}{2}$cos30°，
解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3el}$；
電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：l=v₀t，豎直方向：$\frac{1}{2}$l=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{el}$；
（2）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：l=v₀t，豎直方向：$\frac{1}{2}$l=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
解得：v_y=v₀，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，則α=45°，電子離開電場時(shí)與水平方向成45°角．
（3）電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{eB}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{2πm}{e}$×$\frac{3el}{2\sqrt{3}m{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}πl(wèi)}{6{v}_{0}}$，
電子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$，
電子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到e點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{（\sqrt{3}π+6）l}{6{v}_{0}}$；
答：（1）圓形磁場區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3el}$，電場區(qū)域內(nèi)的電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{el}$；
（2）電子從e點(diǎn)離開電場區(qū)域時(shí)的速度大小為$\sqrt{2}$v₀，方向：與水平方向成45°角；
（3）電子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到e點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{（\sqrt{3}π+6）l}{6{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題考查了求磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、電子速度、電子運(yùn)動(dòng)時(shí)間等問題，分析清楚電子運(yùn)動(dòng)過程，作出電子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．