Question

18．如圖所示的坐標(biāo)系中，x軸水平，y軸豎直，x軸上方空間只存在重力場(chǎng)，第Ⅲ象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直xy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第Ⅳ象限有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)與第Ⅲ象限存在的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等．一質(zhì)量為m，帶電量為q的小球a，從軸上點(diǎn)P₁（0，h）以一定的水平速度沿軸負(fù)方向拋出，它經(jīng)過點(diǎn)P₂（-2h，0）進(jìn)入第Ⅲ象限，恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過y軸上的點(diǎn)P₃ （0，-2h）進(jìn)入第Ⅳ象限，試求：
（1）小球到達(dá)點(diǎn)P₂時(shí)速度的大小和方向；
（2）第Ⅲ象限中電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限且速度減為零時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，從而求出粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)與重力場(chǎng)中時(shí)，重力與電場(chǎng)力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由平衡可得出電場(chǎng)強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）分析帶電粒子的受力情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
（1）質(zhì)點(diǎn)在第Ⅱ象限中做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v₀，
h=$\frac{1}{2}$gt²，2h=v₀t，解得：v₀=$\sqrt{2gh}$，
在P₂點(diǎn)，速度v的豎直分量為：v_y=gt=$\sqrt{2gh}$，
所以：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{gh}$，其方向與x軸負(fù)向夾角θ=45°
（2）帶電粒子進(jìn)入第Ⅲ象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
必有：mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$；                        
又恰能過負(fù)y軸2h處，故$\overline{{P}_{2}{P}_{3}}$為圓的直徑，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為：
R=$\frac{\sqrt{2}\overline{O{P}_{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}×2h}{2}$=$\sqrt{2}$h，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）帶電粒以大小為v，方向與x軸正向夾45°角進(jìn)入第Ⅳ象限，
所受電場(chǎng)力與重力的合力為：$\sqrt{2}$mg，方向與過P₃點(diǎn)的速度方向相反，
故帶電粒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{\sqrt{2}mg}{m}$=$\sqrt{2}$g，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：
0²-v²=-2as，解得：s=$\sqrt{2}$h，
由此得出速度減為0時(shí)的位置坐標(biāo)是（h，-h）
答：（1）質(zhì)點(diǎn)a到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小2$\sqrt{gh}$，和方向與x軸負(fù)向夾角θ=45°；
（2）第Ⅲ象限中勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$\frac{mg}{q}$和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）質(zhì)點(diǎn)a進(jìn)入第Ⅳ象限且速度減為零時(shí)的位置坐標(biāo)（h，-h）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在場(chǎng)中三種運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．