Question

3．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，在第一象限以內(nèi)有一條分界線OB，在分界線OB以上的區(qū)域存在平行于y軸豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第一象限分界線OB以下的區(qū)域存在有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未標(biāo)出）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）以初速度v₀從A（0、L）點(diǎn)沿平行x軸方向進(jìn)入電場(chǎng)，在分界線上P（L、$\frac{L}{2}$）點(diǎn)處進(jìn)入磁場(chǎng)，并從x軸的F（$\frac{3}{4}$L、0）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和帶電粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)受力求得加速度，然后由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求得運(yùn)動(dòng)半徑，然后由洛倫茲力做向心力求解．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則水平方向上有：L=v₀t；豎直方向上有：$a=\frac{qE}{m}$，$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$；
所以，$E=\frac{mL}{q{t}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；在P點(diǎn)豎直方向上粒子的分速度${v}_{y}=at=\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}={v}_{0}$，所以，P點(diǎn)的速度為$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，速度與水平的夾角為：$θ=arctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=45°$；
（2）根據(jù)圓心在PF的垂直平分線，且圓心到P、F的距離相等可得：${R}^{2}=（\frac{1}{2}L-\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}+（\frac{1}{4}L-\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}$，所以，$R=\frac{5\sqrt{2}}{24}L$；
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$B=\frac{mv}{qR}=\frac{24m{v}_{0}}{5qL}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；帶電粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{24m{v}_{0}}{5qL}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．