Question

2．如圖所示，AB、CD為固定在水平面上的光滑圓弧軌道，半徑R=9m，分別與水平軌道相切于B、C兩點(diǎn)，KA平臺(tái)的高度為h=3.2m．先讓小物塊甲以v₁=$\sqrt{80}$m/s的初速度從A點(diǎn)沿AB軌道下滑，當(dāng)小物塊甲經(jīng)過(guò)B點(diǎn)0.6s后，讓小物塊乙以一定的初速度v₂=16m/s從B點(diǎn)沿BC軌道向右滑行，甲、乙兩物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ_甲=0.15、μ_乙=0.64，甲物塊質(zhì)量m_甲=1kg，甲物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)受到的支持力大小為F_N=19N，取g=10m/s²．求：

（1）甲物塊滑到C點(diǎn)時(shí)的速率；
（2）水平軌道BC的長(zhǎng)度；
（3）甲、乙兩物塊在水平軌道BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)兩物塊間的最小距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在C點(diǎn)軌道對(duì)甲物塊的支持力，結(jié)合牛頓第二定律求出甲物塊滑到C點(diǎn)的速率；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出甲物塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，對(duì)B到C的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出水平軌道BC的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出甲乙兩物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小，抓住速度相等時(shí)，相距最近，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最小距離．

解答 解：（1）在C點(diǎn)，甲物塊做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲物塊滑到C點(diǎn)時(shí)的速率為v_C，在C點(diǎn)，軌道對(duì)甲物塊的支持力F_N=19 N
則：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$         
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=9 m/s          
（2）對(duì)甲物塊，設(shè)下滑到B點(diǎn)速度為v_B，由機(jī)械能守恒定律有：
mgh+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv_B²             
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=12 m/s   
設(shè)水平軌道BC長(zhǎng)度為L(zhǎng)，甲物塊從B到C的過(guò)程由動(dòng)能定理有：
-μ_甲m_甲gL=$\frac{1}{2}$m_甲v_C²-$\frac{1}{2}$m_甲v_B²      
代入數(shù)據(jù)解得：L=21 m      
（3）甲、乙兩物塊在水平軌道BC上，均做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度分別為a_甲、a_乙，根據(jù)牛頓第二定律有：
a_甲=-$\frac{{μ}_{甲}{m}_{甲}g}{{m}_{甲}}$=-μ_甲g=-1.5 m/s²
a_乙=-$\frac{{μ}_{乙}{m}_{乙}g}{{m}_{乙}}$=-μ_乙g=-6.4 m/s²
設(shè)乙物塊滑入水平軌道BC時(shí)間t后與甲物塊速度相等，設(shè)為v，則：
v₂+a_乙 t=v_B+a_甲（t+0.6）=v    
代入數(shù)據(jù)解得：t=1 s     v=9.6 m/s          
即乙物塊滑入水平軌道1 s后甲、乙兩物塊速度相等（v=9.6 m/s），這時(shí)它們?cè)谒�平軌道BC上的距離最小，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式得：
x_甲=$\frac{1}{2}$（v_B+v）（t+0.6）
代入數(shù)據(jù)，得：x_甲=（12+9.6）×1.6×$\frac{1}{2}$=17.28（m）
x_乙=$\frac{1}{2}$（v₂+v）t
代入數(shù)據(jù)，得：x_乙=（16+9.6）×$\frac{1}{2}$=12.8（m）
甲、乙兩物塊在水平軌道BC上的最小距離：
△x=x_甲-x_乙=17.28 m-12.8 m=4.48 m
答：（1）甲物塊滑到C點(diǎn)時(shí)的速率為9m/s；
（2）水平軌道BC的長(zhǎng)度為21m；
（3）甲、乙兩物塊在水平軌道BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)兩物塊間的最小距離為4.48m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，對(duì)于第三問(wèn)，要知道兩者速度相等時(shí)相距最近，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．